第一節(jié)偏導(dǎo)數(shù)

1、,第一節(jié),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一、 偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算,二 、高階偏導(dǎo)數(shù),,偏導(dǎo)數(shù)與全微分,第十二章,一、 偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法,引例:,研究氣體的狀態(tài)方程 PV=RT.,等溫過程中體積關(guān)于壓強(qiáng)P的變化率,在物理學(xué)中經(jīng)?？紤]： 等壓過程下的氣體體積關(guān)于溫度的變化率問題,(R是普適氣體常數(shù)),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,將狀態(tài)方程寫成,其中P為常數(shù),其中T為常數(shù),在

2、數(shù)學(xué)上就等價(jià)于要研究二元函數(shù)當(dāng)一個(gè)變量不變時(shí)，關(guān)于另一個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)問題。,在等壓過程中，氣體體積關(guān)于溫度的導(dǎo)數(shù)大于0，這說明此時(shí)體積隨溫度的變化而單調(diào)增加，即 溫度上升時(shí)體積增大，溫度下降時(shí)體積減少,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,這些是熟悉的物理規(guī)律。,為此，我們引入偏導(dǎo)數(shù)的概念。,在等溫壓過程中，氣體體積關(guān)于壓強(qiáng)的導(dǎo)數(shù)小于0，這說明此時(shí)體積隨壓強(qiáng)的變化而單調(diào)減少，即 壓強(qiáng)增大時(shí)體積收縮，

3、壓強(qiáng)減少時(shí)體積膨脹,定義1.,在點(diǎn),存在,,的偏導(dǎo)數(shù)，記為,的某鄰域內(nèi),則稱此極限為函數(shù),極限,,設(shè)函數(shù),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,注意:,同樣可定義對 y 的偏導(dǎo)數(shù),若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點(diǎn) ( x , y ) 處對 x,則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),,也簡稱為,偏導(dǎo)數(shù) ,,記為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在 ,,二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的

4、幾何意義:,是曲線,在點(diǎn) M0 處的切線,對 x 軸的斜率.,在點(diǎn)M0 處的切線,斜率.,是曲線,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,對 y 軸的,例如, 三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點(diǎn) (x , y , z) 處對 x 的,偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,偏導(dǎo)數(shù)定義為,(請自己寫出),因此,計(jì)算多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，就可以按照一元

5、函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式進(jìn)行。,多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)就是多元函數(shù)分別關(guān)于每一個(gè)自變量的導(dǎo)數(shù) （不求導(dǎo)數(shù)的其它變量看成常數(shù)）.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1 . 求,解法1:,解法2:,在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 設(shè),證:,例3. 求,的偏導(dǎo)數(shù) .,解:,求證,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,從以上例子我們注意到如

6、下事實(shí)： 若在f(x,y)的表達(dá)式中將x換為y,同時(shí)將y換為x時(shí)，表達(dá)式不變，則稱函數(shù)f(x,y)對x，y時(shí)有輪換對稱性。 對具有輪換對稱性的函數(shù)，如果已經(jīng)求得偏導(dǎo)數(shù) ，則只要在 的表達(dá)式中將x 換成 y，同時(shí)將y 換成x，就可得到 。,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例如： 例1，例3 .,這種方法可以推廣到二元

7、以上的函數(shù) .,“可導(dǎo)必連續(xù)”是一元函數(shù)中所熟悉的性質(zhì)，但在多元函數(shù)來講，類似的性質(zhì)并不成立。,顯然,例如,,注意：,即函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在，但不一定連續(xù).,上節(jié)例 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,但 f (x , y) 在點(diǎn)(0 , 0)并不連續(xù)!,偏導(dǎo)數(shù)記號是一個(gè),例4. 已知理想氣體的狀態(tài)方程,求證:,證:,說明:,(R 為常數(shù)) ,,不能看作,分子與分母的商 !,,此例表明,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁

8、返回 結(jié)束,整體記號,,二、高階偏導(dǎo)數(shù),設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，,則稱它們是z = f ( x , y ),的二階偏導(dǎo)數(shù) .,按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,數(shù):,類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).,例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為,z = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n –1 階偏

9、導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,偏導(dǎo)數(shù)為,例6. 證明函數(shù),滿足拉普拉斯,證：,利用對稱性 , 有,方程,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 求函數(shù),解 :,注意:此處,但這一結(jié)論并不總成立.,,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,的二階偏導(dǎo)數(shù)及,例如,,二者不等,,,,,,,,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返

10、回 結(jié)束,證明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,我們有下面的定理：,那么一個(gè)函數(shù)具有什么條件時(shí)，它的二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)的順序無關(guān)呢？,,則,本定理對 n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.,證:令,則,則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理.,令,同樣,在點(diǎn),連續(xù),,得,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,類似, 對三

11、元函數(shù) u = f (x , y , z) ,,說明:,函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 ,,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo),數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.,因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù),在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)時(shí), 有,而初等,例6. 設(shè),即 x＝y(tǒng)＝0 時(shí),,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7,設(shè),方程,確定 u 是 x , y 的函數(shù) ,,連續(xù), 且,求,解:,,,,機(jī)動 目錄 上

12、頁 下頁 返回 結(jié)束,例8,設(shè),,計(jì)算,（其中P,q為正整數(shù)）。,因此，關(guān)于y用Leibniz公式得,解:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,關(guān)于x再用一次Leibniz公式就得：,內(nèi)容小結(jié),1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論,定義; 記號; 幾何意義,函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在,函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù),混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),,與求導(dǎo)順序無關(guān),2. 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法,求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法,,先代后求,先求后代,利用定義,求高階偏