離散時(shí)間的紅利模型及Markov鏈轉(zhuǎn)移概率在其中的應(yīng)用.pdf

1、風(fēng)險(xiǎn)理論已經(jīng)發(fā)展了很長(zhǎng)一段時(shí)間，關(guān)于經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型(特別是連續(xù)時(shí)間的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型)的理論已經(jīng)發(fā)展成了一個(gè)較為完善的體系．毫無(wú)疑問(wèn)，經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的理論為保險(xiǎn)公司的險(xiǎn)種設(shè)計(jì)及風(fēng)險(xiǎn)管理起到了重要的作用．De Finetti于1957年在紐約召開(kāi)的國(guó)際精算學(xué)術(shù)會(huì)議上報(bào)告了一篇論文，文中首次提出了保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型的分紅問(wèn)題，并用它來(lái)更為現(xiàn)實(shí)地反映保險(xiǎn)公司的剩余現(xiàn)金流．顯然，紅利的引入能為保險(xiǎn)公司提供更多有價(jià)值的理論依據(jù)，特別地，為保險(xiǎn)公司設(shè)計(jì)帶紅利的險(xiǎn)

2、種及其管理提供了理論依據(jù)．最近，風(fēng)險(xiǎn)理論中的分紅問(wèn)題引起了學(xué)者的很大興趣．但是基本上都是考慮連續(xù)時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型中的紅利問(wèn)題．然而，引入紅利的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型不但有其固有的研究?jī)r(jià)值，作為連續(xù)時(shí)間的風(fēng)險(xiǎn)模型的近似也有它研究的意義，而且保險(xiǎn)公司的實(shí)際操作不可能連續(xù)時(shí)間進(jìn)行，而只能在離散時(shí)刻進(jìn)行．所以，本文考慮了離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型中的紅利問(wèn)題． 關(guān)于紅利問(wèn)題，本文對(duì)兩個(gè)離散時(shí)間的紅利模型作了討論．這兩個(gè)模型在本文中分別稱作紅利模型(Ⅰ)和

3、紅利模型(Ⅱ)．對(duì)這兩個(gè)模型的討論主要采取兩種方法：Gerber-Shiu期望貼現(xiàn)罰金函數(shù)方法和本文提出的Markov鏈轉(zhuǎn)移矩陣方法．其中Gerber-Shiu期望貼現(xiàn)罰金函數(shù)法自提出以來(lái)，在連續(xù)時(shí)間模型中的應(yīng)用比較廣泛而且相當(dāng)有效．但是很少在離散時(shí)間模型中看到它的應(yīng)用，原因是其運(yùn)用的難度．本文嘗試著用這種方法得到了一些滿意的結(jié)論．而Markov鏈轉(zhuǎn)移矩陣法在當(dāng)前的文獻(xiàn)中很難見(jiàn)到，其原因可能是此法計(jì)算量大，也可能是因?yàn)檫@種方法只能在離散

4、時(shí)間模型中或?qū)B續(xù)時(shí)間模型離散化后的模型中才能運(yùn)用，而離散時(shí)間模型的研究往往比連續(xù)時(shí)間模型難度大．可以認(rèn)為，在當(dāng)前計(jì)算機(jī)技術(shù)高度發(fā)展的情況下，Markov鏈轉(zhuǎn)移矩陣法值得大力推廣，這也是本文撰寫(xiě)的一個(gè)初衷． 紅利模型(Ⅰ)是一個(gè)隨機(jī)支付紅利的離散時(shí)間模型．這一模型是在復(fù)合二項(xiàng)模型的基礎(chǔ)上引入紅利支付而修正了的模型．我們假設(shè)保險(xiǎn)公司在盈余大于或等于某一給定的非負(fù)整數(shù)的紅利界(門檻)x時(shí)，保險(xiǎn)公司以概率q<,0>支付1個(gè)單位的紅利給

5、受保者或本公司股票的持有者．本文第二、三、四章討論這個(gè)模型． 在第二章中，我們推導(dǎo)出了這個(gè)紅利模型的罰金函數(shù)Φ(0)，Φ(1)，…，Φ(x)滿足一個(gè)線性方程(組)，并且運(yùn)用矩陣論的知識(shí)證明了這個(gè)線性方程組在正的安全負(fù)載條件下存在—個(gè)唯一的解．而當(dāng)u>z時(shí)，我們獲得了罰金函數(shù)Φ(u)滿足的兩個(gè)遞推公式．接著我們推導(dǎo)出了罰金函數(shù)滿足的一個(gè)漸近估計(jì)公式．上述公式的獲得經(jīng)歷了一個(gè)非常復(fù)雜的推導(dǎo)過(guò)程，并且對(duì)它們的推導(dǎo)完全異于連續(xù)時(shí)間模型的

6、推導(dǎo)，很難借鑒連續(xù)時(shí)間模型．根據(jù)罰金函數(shù)，我們能獲得許多重要的風(fēng)險(xiǎn)量所滿足的線性方程組、遞推公式以及漸近估計(jì)公式，例如： (本文提供的)最終破產(chǎn)概率、破產(chǎn)時(shí)赤字的分布函數(shù)、破產(chǎn)時(shí)赤字的母函數(shù)、破產(chǎn)前一時(shí)刻盈余的概率函數(shù)等．在本章的最后，我們運(yùn)用所得的公式對(duì)上述風(fēng)險(xiǎn)量進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，獲得了十分滿意的效果． 在第三章中，我們用另一方法--Markov鏈轉(zhuǎn)移矩陣法推導(dǎo)了紅利模型(Ⅰ)一些重要風(fēng)險(xiǎn)量的矩陣表達(dá)式．可喜并難得的是這些表達(dá)式

7、全是顯式形式的．運(yùn)用這些矩陣表達(dá)式計(jì)算出的結(jié)果與第二章中數(shù)值計(jì)算結(jié)果完全吻合．這一章的論述過(guò)程大致如下．在假設(shè)條件下，保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程U(t)是一個(gè)初始分布為單點(diǎn)分布的齊次馬氏鏈，如果在停時(shí)(破產(chǎn)時(shí)刻)T處kill這個(gè)過(guò)程所得的killed過(guò)程U(t＾T)仍然是一個(gè)齊次馬氏鏈．運(yùn)用這個(gè)killed過(guò)程的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣我們首先推導(dǎo)出了破產(chǎn)時(shí)刻、破產(chǎn)前一時(shí)刻的盈余和破產(chǎn)時(shí)的赤字的聯(lián)合概率函數(shù)．從這個(gè)聯(lián)合概率函數(shù)我們可以求出各邊際分布，從

8、而獲得有限時(shí)間內(nèi)的破產(chǎn)概率、最終破產(chǎn)概率、破產(chǎn)時(shí)赤字的分布函數(shù)、給定破產(chǎn)(或破產(chǎn)時(shí)刻)的條件下破產(chǎn)時(shí)赤字的條件分布函數(shù)等．運(yùn)用這一章的公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)顯然計(jì)算量巨大．但值得一提的是，我們獲得了一些第二章中無(wú)法得到的風(fēng)險(xiǎn)量，例如，有限時(shí)間內(nèi)的破產(chǎn)概率、赤字的條件分布等． 在第四章中，我們?cè)谡陌踩?fù)載的條件下考慮紅利模型(Ⅰ)的負(fù)盈余時(shí)間，即保險(xiǎn)公司的盈余處于赤字狀態(tài)的時(shí)間．如果允許保險(xiǎn)公司在破產(chǎn)之后仍然正常經(jīng)營(yíng)，或遲或早盈余將回

9、到零狀態(tài)，以后將有可能第二次破產(chǎn)、第三次破產(chǎn)……，我們發(fā)現(xiàn)破產(chǎn)次數(shù)N的分布有兩種情況: (1)當(dāng)初始盈余u=0時(shí)，N服從幾何分布； (2)當(dāng)u≥1時(shí)，N服從如下分布：所以我們就上述兩種情況，分別推導(dǎo)了第一次負(fù)盈余時(shí)間、以后備次負(fù)盈余時(shí)間以及負(fù)盈余時(shí)間總和的一階矩、二階矩、母函數(shù)、分布函數(shù)(矩陣表達(dá)式)．值得強(qiáng)調(diào)的是，負(fù)盈余時(shí)間與首達(dá)時(shí)(盈余從0出發(fā)首次到達(dá)某一大于0的給定水平的時(shí)間)的分布有著密切的關(guān)系．首達(dá)時(shí)分布的推導(dǎo)已有一套成熟的方

10、法，值得慶幸的是這套方法能成功地運(yùn)用到紅利模型(Ⅰ)，這就是本章的切入點(diǎn)． 我們常見(jiàn)的復(fù)合二項(xiàng)模型，即Gerber(1988)最初定義的模型假設(shè)了單位時(shí)間內(nèi)的保費(fèi)收入為1個(gè)單位、每次索賠的量都是保費(fèi)率的正整數(shù)倍，這不具有一般性． 因此我們?cè)诘谖逭聦?duì)這個(gè)模型作了改進(jìn)，考慮一個(gè)任意正整數(shù)保費(fèi)率的復(fù)合二項(xiàng)模型．這個(gè)模型的Gerber-Shiu期望貼現(xiàn)罰金函數(shù)的推導(dǎo)遇到了嚴(yán)重的困難．所幸的是我們?nèi)匀猾@得了罰金函數(shù)滿足的一個(gè)線性

11、方程、一個(gè)上界、一個(gè)下界以及一個(gè)不完善的遞推公式．上述這些公式雖然不能精確地求出罰金函數(shù)，但可為保險(xiǎn)公司提供一個(gè)粗略的風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)，并且在運(yùn)用第六章的公式(矩陣表達(dá)式)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)可用來(lái)作誤差估計(jì)．第六章的矩陣表達(dá)的公式雖然是精確的表達(dá)，但數(shù)值計(jì)算時(shí)只能作近似計(jì)算，其誤差不太好估計(jì)，第五章中的公式正好彌補(bǔ)了這一不足之處． 在第六章中，我們提出紅利模型(Ⅱ)，它是在第五章改進(jìn)了的復(fù)合二項(xiàng)模型中引入紅利支付而得到的模型．與紅利模型(Ⅰ

12、)對(duì)比，—個(gè)主要的區(qū)別是紅利的支付不是隨機(jī)化決策決定的．我們假設(shè)當(dāng)盈余大于或等于給定的紅利界時(shí)保險(xiǎn)公司就支付1個(gè)單位的紅利．紅利模型(Ⅱ)是復(fù)合二項(xiàng)模型的推廣，因而所得結(jié)果全部包含了復(fù)合二項(xiàng)模型的結(jié)果．本章所采用的方法主要是Markov鏈轉(zhuǎn)移矩陣法(與第三章類似)，這比第五章中的罰金函數(shù)法有效得多，并且所處理的模型更為廣泛．這也就是本章的目的所在． Markov鏈轉(zhuǎn)移矩陣法值得推廣不僅體現(xiàn)在處理離散時(shí)間模型中的強(qiáng)大功能，我們也可

13、以用它來(lái)對(duì)許多連續(xù)時(shí)間模型的風(fēng)險(xiǎn)量作近似計(jì)算． 為了拋磚引玉，在第七章中我們考慮一個(gè)連續(xù)時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型--sparre Andersen模型．我們用Markov鏈轉(zhuǎn)移矩陣法成功地推導(dǎo)出了這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)模型的最終破產(chǎn)概率的近似計(jì)算公式以及上下界．在運(yùn)用我們提供的公式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)有一個(gè)顯著的優(yōu)勢(shì)，那就是所得的近似值與精確值之間的誤差從理論上來(lái)說(shuō)是可以控制的，即誤差可以控制到事先給定的任意水平． 從本文可以看出，Gerber-Sh