基于Chebyshev多項式的動力學(xué)不確定性區(qū)間算法研究.pdf

1、工程問題基本都依賴于數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述,而動力學(xué)問題的控制方程則為微分方程,包括常微分方程、微分代數(shù)方程、偏微分方程等。要實現(xiàn)對動力學(xué)系統(tǒng)的分析、控制等操作,則需要求解這些微分方程。傳統(tǒng)方法求解這些數(shù)學(xué)模型時,均假定模型中的參數(shù)已經(jīng)準(zhǔn)確獲得。但是在實際問題中,模型中的許多參數(shù)并不能準(zhǔn)確獲得,這些不確定參數(shù)可能導(dǎo)致系統(tǒng)的實際響應(yīng)與理想情況存在較大差別。為更加準(zhǔn)確地分析系統(tǒng)響應(yīng),需要引入不確定性分析方法。不確定性研究方法主要包括概率方法、模糊

2、方法和區(qū)間方法。區(qū)間方法因其只需要不確定參數(shù)的上、下界信息,而不需要不確定參數(shù)的概率分布信息或模糊隸屬度函數(shù),已逐漸成為概率方法的一個重要補(bǔ)充。本文主要研究區(qū)間方法求解含不確定參數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng),以及由此衍生出的處理黑箱模型的高階多項式響應(yīng)面方法,具體研究內(nèi)容如下:
　　本文利用Chebyshev多項式在近似理論中具有很高近似精度的特點,提出了基于Chebyshev級數(shù)展開的Chebyshev區(qū)間擴(kuò)張函數(shù)。區(qū)間算法的優(yōu)點是能夠快速地

3、計算出含不確定參數(shù)函數(shù)的變化區(qū)間,其缺點是區(qū)間算法的“包裹效應(yīng)”會導(dǎo)致結(jié)果區(qū)間被過度放大。幾乎所有關(guān)于區(qū)間算法的研究都圍繞著如何壓縮或控制包裹效應(yīng)這一難題。Chebyshev擴(kuò)張函數(shù)相對于傳統(tǒng)的Taylor擴(kuò)張函數(shù),特別是在計算非單調(diào)函數(shù)的變化區(qū)間時,能更有效地壓縮區(qū)間算法的包裹效應(yīng)。與此同時,建立Chebyshev區(qū)間擴(kuò)張函數(shù)時只需要計算原函數(shù)在插值點的輸出,比建立Taylor區(qū)間擴(kuò)張函數(shù)時需要計算原函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的要求更容易實現(xiàn)。<

4、br>　　推導(dǎo)了基于Chebyshev區(qū)間擴(kuò)張函數(shù)的求解含不確定參數(shù)的常微分方程的數(shù)值方法。該方法是一種非插入式方法,其求解算法不需要嵌入到ODE求解器中,只需要在求解器外層增加相應(yīng)的前處理和后處理即可。傳統(tǒng)的Taylor級數(shù)法和Taylor模型法均為插入式方法,需要改變傳統(tǒng)的ODE數(shù)值求解器本身,因此本文提出的Chebyshev方法更容易實現(xiàn)。本文還推導(dǎo)了Taylor模型的近似法,該方法相對嚴(yán)格的Taylor模型法的計算量更小。數(shù)值算

5、例結(jié)果顯示,在處理非線性問題時,Chebyshev方法相對于近似Taylor模型法不僅具有更高的求解精度還有更高的計算效率。
　　推導(dǎo)了基于二階Taylor擴(kuò)張函數(shù)的求解含不確定參數(shù)的多體動力學(xué)系統(tǒng)的數(shù)值方法,通過將系統(tǒng)含不確定參數(shù)的原控制方程轉(zhuǎn)換為三組僅含確定參數(shù)的控制方程來求解多體動力學(xué)系統(tǒng)。由于該轉(zhuǎn)換過程比較復(fù)雜,且很難向更高階次的Taylor擴(kuò)張函數(shù)拓展以獲得更高的精度,本文提出了另一種基于Chebyshev擴(kuò)張函數(shù)的求解

6、含不確定參數(shù)的多體動力學(xué)系統(tǒng)的數(shù)值方法。該方法的實現(xiàn)過程相對簡單,只需要求解控制方程在不同插值點處的解,然后利用這些解構(gòu)造Chebyshev擴(kuò)張函數(shù)。該Chebyshev方法可以較方便地往更高階次的Chebyshev擴(kuò)張函數(shù)拓展,并獲得更高的求解精度。數(shù)值算例結(jié)果顯示,Chebyshev擴(kuò)張函數(shù)法相對Taylor擴(kuò)張函數(shù)法可以獲得更高的計算精度和效率。
　　將建立Chebyshev擴(kuò)張函數(shù)的過程用于構(gòu)造替代模型,使該方法所能處理的