基于三角多項(xiàng)式曲線曲面的幾何造型理論與方法研究.pdf

1、幾何造型和處理的研究,起源于早期的幾何設(shè)計(jì)的應(yīng)用驅(qū)動(dòng).雖然近年來國內(nèi)外設(shè)計(jì)系統(tǒng)主要采用NURBS曲線曲面為標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)描述方法,但仍有許多數(shù)學(xué)模型或方法問題亟需解決.特別是在新的工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)任務(wù)驅(qū)動(dòng)下,以及對(duì)產(chǎn)品設(shè)計(jì)要求不斷提高的背景下,原有的方法顯然受到了極大的挑戰(zhàn),這就需要在研究內(nèi)容與手段上推陳出新.因此三角樣條與代數(shù)樣條的融合一時(shí)成為了新的研究熱點(diǎn).鑒于此,本文對(duì)基于三角多項(xiàng)式的幾何造型理論與方法展開了深入探討.主要研究工作及成果如

2、下: ●在自由型曲線曲面的造型方法方面：(1)構(gòu)造了B6zier型及B樣條型代數(shù)三角混合多項(xiàng)式曲線曲面，這類曲線曲面繼承了相應(yīng)的B6zier曲線曲面以及B樣條曲線曲面的基本性質(zhì),如端點(diǎn)性質(zhì)、對(duì)稱性、幾何不變性、凸包性以及C<'n>連續(xù)性等. (2)構(gòu)造的Bézier型及B樣條型代數(shù)三角混合多項(xiàng)式曲線曲面提供了一個(gè)形狀控制參數(shù),用戶除了利用控制頂點(diǎn)調(diào)節(jié)曲線曲面形狀外,還可以通過形狀控制參數(shù)調(diào)整曲線曲面形狀,增強(qiáng)了曲線曲面形

3、狀調(diào)整的靈活性.而且在幾何連續(xù)性的意義下,曲線曲面形狀的調(diào)整可以是局部的也可以是全局的. (3)引入的局部控制參數(shù)調(diào)節(jié)曲線形狀可以使得曲線變化的范圍更大,使得定義的曲線包含了同階C-Bézier曲線及C-B樣條曲線,同時(shí),選取合適的控制參數(shù)可以使曲線從兩邊逼近同階的Bézier曲線及B樣條曲線.另外,對(duì)于固定的參數(shù)t,形狀控制參數(shù)α的改變和與此對(duì)應(yīng)的曲線上相應(yīng)點(diǎn)的位置偏移幅度dp(α,t)呈線性關(guān)系,因此使得利用控制參數(shù)來調(diào)節(jié)曲

4、線形狀的過程變得較為簡單. (4)選取合適的形狀控制參數(shù)以及合適的控制頂點(diǎn),提出的Bézier型及B樣條型代數(shù)三角混合多項(xiàng)式曲線曲面可精確表示一些常用的圓錐曲線和心臟線、擺線、螺旋線等超越曲線以及橢球面等二次曲面. ●在插值型曲線曲面的造型方法方面(1)提出了一種B樣條型以及含參數(shù)B樣條型代數(shù)三角混合插值樣條曲線曲面造型方法.該方法繼承了相應(yīng)的B樣條曲線曲面的某些基本性質(zhì),如權(quán)性、對(duì)稱性、C<'2>連續(xù)性等.與B樣條插值

5、曲線相比,無需求解方程組反算控制點(diǎn)即可使構(gòu)造的插值樣條曲線曲面通過給定的型值點(diǎn),同時(shí)提供了局部控制參數(shù)增加曲線控制的自由度,以滿足用戶局部調(diào)節(jié)曲線曲面形狀實(shí)現(xiàn)光順處理和保凸保形等要求.另外,由于插值對(duì)邊界條件并不敏感,因此操作員對(duì)曲線形狀易于控制.與α-樣條([TL99])相比,本文構(gòu)造的插值曲線在插值控制頂點(diǎn)時(shí)與控制參數(shù)α無關(guān),控制參數(shù)α的變化也不會(huì)影響曲線原有的高階連續(xù)性,而α-樣條只有在α=0時(shí)曲線才插值相應(yīng)的控制頂點(diǎn),此時(shí),曲線

6、原有的高階連續(xù)性將不再保持,只能達(dá)到C<'0>連續(xù). (2)提出了兩類基于Hermite型的三角多項(xiàng)式插值樣條曲線曲面造型方法.該方法通過引入張力參數(shù)使得構(gòu)造的曲線具有"可變階"特征,可有效消除一些多余的拐點(diǎn).與三次多項(xiàng)式插值樣條曲線相比,當(dāng)張力參數(shù)滿足一定的條件(即均大于2)時(shí),無需求解方程組即可使構(gòu)造的插值樣條曲線曲面通過給定的型值點(diǎn)且保持C<'1>連續(xù)性.同時(shí)張力參數(shù)提供了額外的自由度.當(dāng)需要調(diào)整曲線曲面形狀時(shí)只需改變相應(yīng)

7、點(diǎn)處的張力因子,調(diào)整是局部的,也可以是整體的. (3)提出了一類定義在圓弧上的圓弧三角Hermite插值樣條.與文獻(xiàn)[AS95]中提出定義在圓弧及球面上的三角Bemstein-Bézier多項(xiàng)式曲線曲面相比,我們提出的方法是插值型的,而非逼近型的,只需求解一個(gè)三對(duì)角線性方程組即可構(gòu)造出C<'2>連續(xù)的插值樣條.而文獻(xiàn)[AS95]中的方法則必須反算控制頂點(diǎn),由于基函數(shù)由三角函數(shù)構(gòu)成,使得這個(gè)反算過程,包括C<'2>連續(xù)性拼接等顯得

8、較為復(fù)雜,這也使得用戶對(duì)曲線曲面形狀的控制較為困難.與傳統(tǒng)的三次多項(xiàng)式插值樣條以及Bézier方法、B樣條方法相比,我們提出的方法主要基于圓弧上的重心坐標(biāo),這就為某些空間曲線曲面的造型或特殊要求下的曲線曲面建模提供了簡便途徑. ●在Skinning曲面的設(shè)計(jì)方面提出了基于代數(shù)三角混合插值(ATBI-)樣條的Skinning曲面設(shè)計(jì)方法. (1)由ATBI-樣條代替?zhèn)鹘y(tǒng)的B樣條設(shè)計(jì)Skinning曲面,避免了求解方程組反算

9、控制點(diǎn).新的設(shè)計(jì)方法既滿足高階連續(xù)性要求,又能夠使得設(shè)計(jì)員可以直接面向關(guān)鍵位置和關(guān)鍵位置處的截面曲線的朝向進(jìn)行操作.從而減少了曲面設(shè)計(jì)的難度. (2)將掃掠曲面的設(shè)計(jì)方法和擺轉(zhuǎn)曲面的設(shè)計(jì)方法結(jié)合起來,既回避掃掠曲面中所有的截面曲線需要預(yù)先一一設(shè)定,又回避擺轉(zhuǎn)曲面中輪廓線只能繞著空間坐標(biāo)系xyz的z軸擺轉(zhuǎn)的局限.將Skinning曲面看作是一條基線(或體)沿脊線運(yùn)動(dòng)而生成,在運(yùn)動(dòng)過程中輔以必要的旋轉(zhuǎn)與伸縮,可進(jìn)一步提高Skinni