1124.張量低秩逼近與梯度流方法

1、博士學(xué)位論文張量低秩逼近與梯度流方法TIensorLowRankApproximationandGradientFlow作者姓名：學(xué)科、專(zhuān)業(yè)：學(xué)號(hào)：指導(dǎo)教師：完成日期：王麗琪計(jì)算數(shù)學(xué)10901009于波教授2015年3月大連理工大學(xué)DaliallUIliVersi哆ofTecIlIlology大連理工大學(xué)博士學(xué)位論文摘要張城分解和張flI低秩逼近是目前最熱門(mén)的研究領(lǐng)域之一，在心理測(cè)。_『|=學(xué)、化學(xué)計(jì)|i=學(xué)、數(shù)據(jù)壓縮與挖掘、計(jì)算機(jī)視覺(jué)

2、、圖形分析等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用背景張量分解的數(shù)值實(shí)現(xiàn)很困難，一個(gè)替代辦法是嘗試尋找其低秩逼近任意階的張量最佳秩一逼近總存在，但可能沒(méi)有秩大于二的最佳逼近計(jì)算張量秩一逼近的主要方法是ALS(交替方向最小二乘)方法，它可以看成是乘冪法的一種推廣關(guān)于ALS算法的研究成果很多，如目標(biāo)值的有界單調(diào)收斂性分析、局部收斂性分析、各種變體及其應(yīng)用等，但是關(guān)于其迭代序列本身的全局收斂性分析尚未見(jiàn)到任何結(jié)果由于當(dāng)R2時(shí)，高階張量最佳秩R逼近不一定存在，有人嘗

3、試正交低秩逼近，對(duì)完全正交約束問(wèn)題，證明了解的存在唯一性并給出了ALS方法。但未有任何收斂性結(jié)果線(xiàn)性矩陣方程可以看成是一類(lèi)四階張量算子方程，對(duì)于一般的線(xiàn)性矩陣方程。人們通常將其展開(kāi)成線(xiàn)性方程組來(lái)求解這樣會(huì)破壞原始數(shù)據(jù)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，增加存儲(chǔ)量和計(jì)算量，降低求解效率也有一些的直接從矩陣方程出發(fā)的求解辦法，但是只限于特殊的線(xiàn)性矩陣方程，甚至是特殊條件之下如何對(duì)一般的線(xiàn)性矩陣方程，不轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性方程組而直接構(gòu)造求解方法是一個(gè)值得考慮的問(wèn)題流方法是一

4、類(lèi)求解優(yōu)化問(wèn)題和非線(xiàn)性方程組的全局收斂性算法梯度流方法是一類(lèi)特殊的流方法本文研究張量低秩逼近和一般線(xiàn)性矩陣方程的算法和理論，其中梯度流方法起到了至關(guān)重要的作用，取得的主要成果如下：在本文第二章中，我們填補(bǔ)了張量秩一逼近的ALs方法產(chǎn)生的迭代序列沒(méi)有全局收斂性分析這一缺失，通過(guò)梯度流方法，用動(dòng)力系統(tǒng)和代數(shù)幾何理論證明了對(duì)于幾乎所有張量，秩一逼近的ALS方法產(chǎn)生的迭代序列是全局收斂的在本文第三章，我們研究高階張量的秩R(R≥2)正交逼近問(wèn)題

5、我們考慮帶較弱的半正交約束，即要求各秩一張_j||=在某一組分I|；：上相互正交的秩R(R≥2)逼近問(wèn)題對(duì)此問(wèn)題，我們通過(guò)極分解保持半正交性，給出了一種ALs方法——修正高階乘冪法，證明了目標(biāo)值的有界單調(diào)收斂性，并用梯度流的方法和代數(shù)幾何理論證明了對(duì)于幾乎所有的張量，ALs方法產(chǎn)生的迭代序列的全局收斂性在本文第四章，我們給出了求解一般線(xiàn)性矩陣方程的正規(guī)方程的梯度流方法的計(jì)算框架，說(shuō)明了該方法的收斂性，并給出了收斂速度估計(jì)和證明，對(duì)常見(jiàn)的