數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)論文

1、<p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 引言1</b></p><p>　　2等價無窮小量的概念及其重要性質1</p><p>　　2.1 等價無窮小量的概念1</p><p>　　2.2等價無窮小量的重要性質2</p><p&g

2、t;　　2.3等價無窮小量性質的推廣2</p><p>　　3等價無窮小量的應用5</p><p>　　3.1求函數(shù)的極限5</p><p>　　3.2等價無窮小量在近似計算中的應用6</p><p>　　3.3利用等價無窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限6</p><p>　　3.4 等價無窮小量在判斷級數(shù)收斂中的

3、應用7</p><p>　　4等價無窮小量的優(yōu)勢8</p><p>　　4. 1運用等價無窮小量求函數(shù)極限的優(yōu)勢…………………………………………....................8</p><p>　　4. 2 等價無窮小量在求函數(shù)極限過程中的優(yōu)勢………………………………………...............9</p><p><

4、;b>　　5結 論12</b></p><p>　　參 考 文 獻13</p><p><b>　　致 謝14</b></p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　等價無窮小量概念是微積分理論中最基本的概念之一,但在微積分理論中等價無窮小量的性質僅僅在

5、“無窮小的比較”中出現(xiàn)過,其他地方似乎都未涉及到.其實,在判斷廣義積分、級數(shù)的斂散性,特別是在求極限的運算過程中,無窮小具有很好的性質,掌握并充分利用好它的性質,往往會使一些復雜的問題簡單化,可起到事半功倍的效果,反之,則會錯誤百出,有時還很難判斷錯在什么地方.因此,有必要對等價無窮小量的性質進行深刻地認識和理解,以便恰當運用,達到簡化運算的目的.</p><p>　　2等價無窮小量的概念及其重要性質</p

6、><p>　　這部分在同濟大學應用數(shù)學系主編的«高等數(shù)學»、華東師范大學數(shù)學系的«數(shù)學分析»、馬振明老師和呂克噗老師的«微分習題類型分析»、張云霞老師的«高等數(shù)學教學»以及Song QB, Shen J Y. On illegal coping and distributing detection mechanism for digita

7、l goods [J]. Journal of Computer Research and Development中做了詳細的講解,下面是我對這部分的理解與總結.推廣部分的性質在書中未做證明,根據(jù)所學的知識以及數(shù)學方法我對其進行了證明.</p><p>　　2.1 等價無窮小量的概念</p><p>　　定義 若函數(shù)(包括數(shù)列)在某變化過程中以零為極限,則稱該函數(shù)為這個變化過程中的無窮小量

8、. 如函數(shù), sinx, 1- cosx, ln(1+x)均為當x→0 時的無窮小量.對于數(shù)列只有一種情形, 即n→∞, 如數(shù)列{ } 為n→∞時的無窮小量或稱為無窮小數(shù)列.</p><p><b>　　注意：</b></p><p>　　1) 絕對值非常小的數(shù)不是無窮小量, 0 是唯一的是無窮小量的數(shù); 無窮小量無限趨近于0 而又不等于0.</p>&

9、lt;p>　　2) 無窮小量是變量, 與它的變化過程密切相關,且在該變化過程中以零為極限. 如函數(shù) 當x ∞時的無窮小量,但當x1時不是無窮小量.</p><p>　　3）兩個（相同類型）無窮小量之和、差、積仍為無窮小量.</p><p>　　4）無窮小量與有界量的乘積為無窮小量.</p><p><b>　　無窮小量的比較</b><

10、;/p><p>　　1) 若存在正數(shù)K和L,使得在某上有,則稱與為當時的同階無窮小量.特別當 則稱與是同階無窮小.</p><p>　　2) 若=1, 則稱與是等價無窮小量, 記為～.</p><p>　　3) 若= 0, 則稱是高階無窮小, 記作=.</p><p>　　注: 并不是任意兩個無窮小均可比較, 如當x→0 時,與 都是無窮小量,

11、但它們不能進行階的比較.</p><p>　　等價無窮小量的重要性質</p><p>　　設α,α′,β,β′,γ 等均為同一自變量變化過程中的無窮小, </p><p>　　若α～α′,β～β′, 且lim 存在,則</p><p>　　lim=lim （）</p><p>　　若α～β,β～γ,則α～γ.</

12、p><p>　　性質①表明等價無窮小量量的商的極限求法.性質②表明等價無窮小量的傳遞性.</p><p>　　2.3等價無窮小量性質的推廣</p><p>　　α～α′,β～β′, 且lim=c(≠-1),則α+β～α′+β′.</p><p><b>　　證明 因為</b></p><p><

13、;b>　　lim=</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　α+β～α′+β′.</p><p>　　而學生則往往在性質(3)的應用上忽略了“l(fā)im=c(≠-1)”這個條件,千篇一律認為“α～α′,β～β′,則有α+β～α′+β′</p><p>　　在同一變化過程中,～,

14、 ～,且存在,則</p><p><b>　　=.</b></p><p><b>　　證明 因為</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=.

15、</b></p><p><b>　　故結論得證.</b></p><p>　　若α～α′,β～β′, 且lim′存在,則當≠0且 lim存在,有</p><p><b>　　lim=lim′.</b></p><p><b>　　證明 因為</b></p&

16、gt;<p><b>　　,</b></p><p>　　又α～α′,β～β′,于是,</p><p><b>　　,,</b></p><p><b>　　從而 </b></p><p><b>　　=1,</b></p>&

17、lt;p><b>　　即</b></p><p><b>　　～</b></p><p><b>　　同理可證</b></p><p><b>　　～.</b></p><p><b>　　故命題得證.</b></p>

18、;<p>　　設在自變量的某一變化過程中, 、、及、、都是無窮小量.</p><p>　　①若～、～、且存在且,則有</p><p><b>　　～.</b></p><p>　　②若～、～、且存在且,則有</p><p><b>　　～.</b></p><p&g

19、t;　?、廴簟?、～、～且存在且,則有</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　證明 ①因為</b></p><p><b>　　==.</b></p><p><b>　　又因為</b></p><p>

20、;<b>　　,</b></p><p><b>　　故上式等于1.</b></p><p><b>　?、谝驗?lt;/b></p><p><b>　　==.</b></p><p><b>　　又因為</b></p>&

21、lt;p><b>　　,</b></p><p><b>　　故上式等于1.</b></p><p>　?、垡C成立,只需證,因為</p><p><b>　　～,～,</b></p><p><b>　　所以結論得證.</b></p>

22、<p>　　性質（1）、（3）的求極限中就使等價無窮小量的代換有了可能性,從而大大地簡化了計算.但要注意條件“l(fā)im =c(≠-1)”,“ ≠0”的使用.</p><p>　　注意 1）需要注意的是在運用無窮小替換解題時,等價無窮小量一般只能在對積商的某一項做替換,和差的替換是不行的.</p><p>　　2）以上性質說明我們利用無窮小量的代換性質將無窮小的等價替換推廣到和與差

23、的形式,并對的不定式極限的求解作了簡化,使其適用的函數(shù)類范圍擴大,從而簡化函數(shù)極限的運算過程,對不定式極限的求解有很大的意義.</p><p>　　3等價無窮小量的應用</p><p>　　等價無窮小量的應用在馮錄祥老師的«關于等價無窮小量量代換的一個注記»、王斌老師的«用羅比塔法則求未定式極限的局限性的探討»、華東師范大學數(shù)學系的«數(shù)學分

24、析»、盛祥耀老師的«高等數(shù)學»、馬振明老師和呂克噗老師的«微分習題類型分析»、Shivakumar N, G.Molina H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital Documents [A]. The 2nd International Conference in Theory and Practice of Digital Li

25、braries[C]. USA Austin Texas: [s. n]以及劉玉璉老師和傅沛仁老師的«數(shù)學分析講義»中都有詳細的分析與注解,在這一部分我只是按照自己的需要從中選取內容,再加上自己篩選例題解答例題寫出來的.請看下面的內容：</p><p><b>　　求函數(shù)的極限</b></p><p>　　在求極限中經(jīng)常用到的等價無窮小量有～～～～

26、～～-1,   ～,  ～,( →0).</p><p><b>　　例1  求.</b></p><p>　　解 當→0時,～,～.</p><p>　　原式= = ..</p><p><b>　　例2  求.</b></p>

27、<p>　　解 原式= = (∵～,～)= .</p><p>　　此題也可用洛必達法則做,但不能用性質②做.</p><p>　　所以,==0,不滿足性質②的條件,否則得出錯誤結論0.</p><p>　　等價無窮小量在近似計算中的應用</p><p><b>　　如：</b></p>

28、<p><b>　　例3 </b></p><p><b>　　解 因為時,</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　.</b></p&

29、gt;<p><b>　　故 </b></p><p>　　利用等價無窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限</p><p><b>　　例4 求極限</b></p><p>　　解 由于函數(shù)的分母中～（0）,因此只需將函數(shù)分子中的與分母中的cosx和分別用佩亞諾余項的麥克勞林公式表示,即：</p><

30、;p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　.</b></p><p&g

31、t;　　例5 由拉格朗日中值定理,對任意的＞-1,存在,使得.證明.</p><p><b>　　解 因</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　所以,根據(jù)題設所給條件有</p><p><b>　　即</b></p><p&

32、gt;<b>　　,</b></p><p><b>　　所以,</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　以上例子能使我們更加深刻的理解無窮小與無窮小或函數(shù)與無窮小的相關運算,能更好的理解泰勒公式在求函數(shù)極限中的巧妙運用.</p><p>　　等價無

33、窮小量在判斷級數(shù)收斂中的應用</p><p>　　在正項級數(shù)的審斂判別法中,用得比較多的是比較審斂法的極限形式,它也是無窮小的一個應用.比較審斂法的極限形式：設和 都是正項級數(shù),</p><p>　?、?如果=l(0≤l<+∞) ,且級數(shù)收斂,則級數(shù)收斂.</p><p>　?、?如果=l>0 或l=+∞,且級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)發(fā)散.</p>

34、<p>　　當①=1時,∑,∑就是等價無窮小量.由比較審斂法的極限形式知,∑與∑同斂散性,只要已知∑un,∑中某一個的斂散性,就可以找到另一個的斂散性.</p><p><b>　　例6 </b></p><p><b>　　解 .</b></p><p><b>　　,所以,收斂.</b>

35、</p><p><b>　　例7 研究的斂散性</b></p><p><b>　　解 ∵=  =1 </b></p><p><b>　　而∑發(fā)散, </b></p><p><b>　　∴發(fā)散.</b></p>&l

36、t;p>　　從以上的例題可以看出,在級數(shù)斂散性的判別中,等價無窮小量發(fā)揮了重要的作用.在很多題目中,我們需要綜合運用羅比達法則、等價無窮小量的性質、泰勒級數(shù)等相關知識,才能達到簡化運算的目的.</p><p>　　4等價無窮小量的優(yōu)勢</p><p>　　這一部分的內容是我在聽了鄭老師和郭老師的數(shù)學分析課以后,由于他們教學方法的鮮明對比而深受啟發(fā),在他們講解數(shù)學分析其他部分的比較與分

37、析時,我也希望自己能找到一個他們沒有整理過的知識點經(jīng)過自己的努力完成對它的比較與分析,因此我選擇了這一部分內容.請看下面的內容：</p><p>　　4.1運用等價無窮小量求函數(shù)極限的優(yōu)勢</p><p><b>　　例8 求</b></p><p>　　解 解法一（等價無窮小量替換）：</p><p>　　,由無

38、窮小替換定理有：=.</p><p>　　解法二（兩個重要極限）：由于</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　=.</b></p><p>　　解法三（洛必達法則）：</p><p><b>　　=.</b></p&g

39、t;<p>　　由此例可以發(fā)現(xiàn),很多時候求解函數(shù)極限的方法多種多樣.其中包括極限的運算法則、兩個重要極限、洛必達法則以及無窮小替換等等.所以我們求解一道題時要進行全方位、多角度的思考,找出最適合、最恰當?shù)慕忸}方法.對上例的幾種不同解法進行比較,我們很容易地發(fā)現(xiàn)恰當利用無窮小替換能夠快速、準確地求解一些函數(shù)極限.</p><p><b>　　例9  求</b></

40、p><p>　　解法一（等價無窮小量替換）：由于當x→-∞ 時,有,,則由無窮小替換定理有</p><p><b>　?。?.</b></p><p>　　解法二（洛必達法則）：</p><p><b>　　=.</b></p><p>　　我們知道通常碰到求解未定式極限的問題時

41、,大家總是習慣使用洛必達法則.但是由此例看求解上述極限時,很顯然利用等價無窮小量替換更簡單、便捷.另外,值得注意的是對本例在使用洛必達法則計算時,如果不把寫到分母上,而是繼續(xù)使用洛必達法則,就會出現(xiàn)循環(huán)計算,將永遠得不到結果.由此更能體現(xiàn)等價無窮小量替換的重要性.同時本例還說明不僅是在極限存在時而且在極限為無窮大時同樣都可以使用等價無窮小量替換.</p><p>　　4.2 等價無窮小量在求函數(shù)極限過程中的優(yōu)勢&

42、lt;/p><p>　　如果直接使用洛比達法則,而,分母上的求導運算將越來越復雜.若對上式中分母上的無窮小量用等價無窮小量來替換,便可將上式化為較為簡單的式子,雖然讓使用洛比達法則,但是其運算過程就變的很簡單了.請看下面的例題：</p><p><b>　　例10 </b></p><p>　　解 原式=  （用羅比塔法則）&

43、lt;/p><p>　　=（分離非零極限乘積因子并算出非零極限）</p><p>　　= （用羅比塔法則）</p><p><b>　　= .</b></p><p>　　出現(xiàn)循環(huán),此時用羅比塔法則求不出結果.怎么辦？用等價無窮小量代換.</p><p><b>　　因為

44、</b></p><p>　　x～sinx～tanx(x→0)</p><p>　　所以,原式= =1而得解.</p><p><b>　　例11 求</b></p><p><b>　　解 原式= </b></p><p><b>　?。ā摺?/p>

45、）.</b></p><p>　　若使用洛必達法則可知原式==繼續(xù)運用洛必達法則會將上式越變越復雜,難于求出最后的結果.而通過運用無窮小的等價替換,將分母替換成,又將分子分解因式后進行等價替換,從而很快地求出正確結果,由此可以看出單單運用洛必達法則有時并不能達到較好的效果,適時地運用等價替換可以簡化替換.</p><p>　　通過上面的兩個例子可看到洛必達法則并不是萬能的,也不

46、一定是最佳的,它的使用具有局限性,只要充分地掌握好等價無窮小量的4條性質就不難求出正確的結論.</p><p><b>　　結 論</b></p><p>　　極限計算是《微積分理論》中的一個重要內容,等價無窮小量代換又是極限運算中的一個重要的方法.利用等價無窮小量代換計算極限,主要是指在求解有關無窮小的極限問題時利用等價無窮小量的性質、定理施行的等價無窮小量替換的計

47、算方法,通常與洛必達法則一起使用,目的是使解題步驟簡化,減少運算錯誤.進行等價無窮小量代換的原則是整體代換或對其中的因子進行代換.即在等價無窮小量的代換中,可以分子分母同時進行代換,也可以只對分子（或分母）進行代換.當分子或分母為和式時,通常不能將和式中的某一項以等價無窮小量替換,而應將和式作為一個整體、一個因子進行代換,即必須是整體代換；當分子或分母為幾個因子相乘積時,則可以只對其中某些因子進行等價無窮小量代換．簡言之,只有因子才可以

48、進行等價無窮小量替換.</p><p><b>　　參 考 文 獻</b></p><p>　　[ 1 ]同濟大學應用數(shù)學系,主編.高等數(shù)學.第5版[M].高等教育出版社,2002,7 56～59.</p><p>　　[ 2 ]楊文泰,等.價無窮小量代換定理的推廣[J].甘肅高師學報,2005,10（2）：11～13.</p&

49、gt;<p>　　[ 3 ] 王斌.用羅比塔法則求未定式極限的局限性的探討[J].黔西南民族師專學報,2001.</p><p>　　[ 4 ] 華東師范大學數(shù)學系. 數(shù)學分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.</p><p>　　[ 5 ] 盛祥耀. 高等數(shù)學[M]. 北京: 高等教育出版社, 1987.</p><p>　　[ 6 ]

50、馮錄祥. 關于等價無窮小量量代換的一個注記[J]. 伊犁師范學院學報, 2006( 3) : 25- 26.</p><p>　　[ 7 ] 段麗凌,楊賀菊. 關于等價無窮小量替換的幾點推廣.[ J ]. 河北自學考試, 2007, (06).</p><p>　　[ 8 ] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（上冊）[ M] .（第三版）北京：高等教育出版社,2004.62.</p>

51、;<p>　　[ 9 ] 馬振明,呂克噗.微分習題類型分析[ M ] .蘭州：蘭州大學出版社,1999.59,45-65.</p><p>　　[10] 崔克儉,應用數(shù)學[ M ],北京：中國農業(yè)出版社,2004.</p><p>　　[11] 張云霞. 高等數(shù)學教學[J]. 山西財政稅務專科學校學報 , 2001.04.</p><p>　　[12]

52、 任治奇 , 梅胤勝.數(shù)學分析[M]. 渝西學院學報(社會科學版) , 1998.02</p><p>　　[13] 劉玉璉 傅沛仁：數(shù)學分析講義[M].北京：人民教育出版社,2000.</p><p>　　[14] Song QB, Shen J Y. On illegal coping and distributing detection mechanism for digital g

53、oods [J]. Journal of Computer Research and Development , 2001, 38(1): 121- 125.</p><p>　　[15] Shivakumar N, G.Molina H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital Documents [A]. The 2nd International Conf

54、erence in Theory and Practice of Digital Libraries[C]. USA Austin Texas: [s. n], 1995: 9- 17.</p><p>　　[16] Shivakumar N, G.Molina H. Building a Scalable and Accurate Copy Detection Mechanism [A]. The 1st AC

55、M Conference on Digital Libraries[C]. USA Bethesada Maryland: [s. n], 1996: 34- 41.</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　走的最快的總是時間,來不及感嘆,大學生活已近尾聲,四年多的努力與付出,隨著本次論文的完成,將要劃下完美的句號.</p>&

56、lt;p>　　本論文設計在**老師的悉心指導和嚴格要求下業(yè)已完成,從課題選擇到具體的寫作過程,論文初稿與定稿無不凝聚著**老師的心血和汗水,在我的畢業(yè)設計期間,**老師為我提供了種種專業(yè)知識上的指導和一些富于創(chuàng)造性的建議,*老師一絲不茍的作風,嚴謹求實的態(tài)度使我深受感動,沒有這樣的幫助和關懷和熏陶,我不會這么順利的完成畢業(yè)設計.在此向王廣蘭老師表示深深的感謝和崇高的敬意！</p><p>　　在臨近畢業(yè)之際

57、,我還要借此機會向在這四年中給予我諸多教誨和幫助的各位老師表示由衷的謝意,感謝他們四年來的辛勤栽培.不積跬步何以至千里,各位任課老師認真負責,在他們的悉心幫助和支持下,我能夠很好的掌握和運用專業(yè)知識,并在設計中得以體現(xiàn),順利完成畢業(yè)論文.</p><p>　　同時,在論文寫作過程中,我還參考了有關的書籍和論文,在這里一并向有關的作者表示謝意.</p><p>　　我還要感謝同組的各位同學以