數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)畢業(yè)論文 --不等式的證明

1、<p><b>　　摘 要</b></p><p>　　在初等數(shù)學(xué)中，證明不等式的常用方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、判別式法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法等等，但是所用的都是初等數(shù)學(xué)知識(shí)。本文利用高等數(shù)學(xué)中的有關(guān)知識(shí)，給出幾種不等式的證明方法：?jiǎn)握{(diào)性，輔助函數(shù)，凹凸性，中值定理，最值、極值定理，泰勒公式，定積分性質(zhì)，柯西施瓦茨。</p><p>　

2、　關(guān)鍵詞 不等式 高等數(shù)學(xué) 中值定理 泰勒公式 柯西 施瓦茨</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　In the elementary mathematics, Common methods used on proof of inequality are comparation, synthesi

3、s, analysis, negative approach, discriminant law, substitution of variables, mathematical induction and so on, All of them belong to elementary mathematics knowledge. In this article based on higher mathematics, Some me

4、thods to prove inequality have been given: monotonicity,auxiliary function, convex-concave,value theorem,extreme value、extreme value theorem, taylor formula, definite integr</p><p>　　Key words ineq

5、uality higher mathematics value theorem taylor formula cauchy schwartz</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　1、引言…………………………………………………………………………1</p><p>　　2、利用函

6、數(shù)的單調(diào)性證明不等式……………………………………………1</p><p>　　3、利用函數(shù)的凹凸性證明不等式……………………………………………2</p><p>　　4、利用拉格朗日中值定理證明不等式………………………………………2</p><p>　　5、利用函數(shù)的最值、極值定理證明不等式…………………………………3</p><p>　　6

7、、利用泰勒公式證明不等式…………………………………………………4</p><p>　　7、利用定積分的性質(zhì)證明不等式……………………………………………5</p><p>　　8、利用柯西不等式證明不等式………………………………………………5</p><p>　　參考文獻(xiàn)……………………………………………………………………6</p><p>&

8、lt;b>　　淺議不等式的證明</b></p><p><b>　　1引言</b></p><p>　　用不等號(hào)連接起來(lái)的兩個(gè)解析式所成的式子叫不等式，證明不等式就是根據(jù)不等式的性質(zhì)證明對(duì)于式中字母所容許的數(shù)值，不等式恒成立．不等式證明在中學(xué)里占有重要的地位，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，例如在討論方程或方程組的解中，研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、最值等

9、問(wèn)題中都要用到．然而，不等式證明又是中學(xué)里的一個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)．其特點(diǎn)是方法靈活多樣，技巧性很強(qiáng)，這使得它成為高考中的一個(gè)熱門(mén)問(wèn)題．證明不等式的途徑是對(duì)原不等式作代數(shù)變形，在初等數(shù)學(xué)中，常用的方法有比較法、綜合分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、判別式法、換元法等等．然而，現(xiàn)在高中課本中又增加了一些高等數(shù)學(xué)知識(shí)，我們思考能否用高等數(shù)學(xué)中的有關(guān)知識(shí)來(lái)證明某些使用初等方法證明比較困難或暫時(shí)還無(wú)法證明的不等式，使之過(guò)程更加簡(jiǎn)潔、易懂，答案是肯定的

10、，因此討論高等數(shù)學(xué)知識(shí)在某些初等數(shù)學(xué)不等式中的應(yīng)用是非常重要的，同時(shí)初等數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題往往蘊(yùn)含著高等數(shù)學(xué)中的一些方法，因而將高等數(shù)學(xué)中的某些原理、方法應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)中的證明，不僅可以開(kāi)拓學(xué)生的視野，而且可以使學(xué)生體會(huì)到用高等數(shù)學(xué)的原理、方法解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)居高臨下，駕輕就熟的感覺(jué)，進(jìn)而了解高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)</p><p>　　2利用函數(shù)、輔助函數(shù)的單調(diào)性證明不等式</p><p>　

11、　2.1函數(shù)單調(diào)性證明</p><p>　　定理1[1] 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)遞增（遞減）的充要條件是，</p><p>　　不等式與函數(shù)有著密切的關(guān)系，因此，根據(jù)求證的不等式構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可巧證一些不等式，此方法尤其適用于中學(xué)里的函數(shù)不等式的證明．</p><p>　　例2.1.1 證明：當(dāng)時(shí)，.</p><p>　　

12、證明：設(shè)，，所以當(dāng)時(shí)，，也即</p><p><b>　　，故.</b></p><p>　　2.2輔助函數(shù)單調(diào)性證明</p><p>　　輔助函數(shù)方法比較常用，其主要思想是將不等式通過(guò)等價(jià)變形，找到一個(gè)輔助函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)確定函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，即可證明出結(jié)論。常用的方法是，直接將不等號(hào)右端項(xiàng)移到不等號(hào)左端，另不等號(hào)右端為零，左端即為所求

13、輔助函數(shù)。例2.2.1試證：當(dāng)x>0時(shí)，(x2-1)lnx≥(x-1)2。    解：設(shè)f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知f(1)=0?！　∮謋′(x)=2xlnx-x+2-1x，f′(1)=0, f″(x)=2lnx+1+1x2,f″(1)=2>0　　f(x)=2(x2-1)x3可見(jiàn)，當(dāng)0<X<0；當(dāng)1<x<+∞時(shí)，f>0，因此有當(dāng)0<

14、X<+&INFIN;時(shí)F&PRIME;(X)&GE;F(1)="2">0。又由f′(1)=0及f′(x)是單調(diào)增加的函數(shù)推知，當(dāng)0<X<1時(shí)，F(xiàn)&PRIME;(X)<0；當(dāng)1<X<+&INFIN;時(shí)，F(xiàn)&PRIME;(X)>0，因此進(jìn)一步有f(x)≥f(1)=0(0<X<+&INFIN;)。即得證當(dāng)X&

15、gt;0時(shí)，(x2-1)lnx≥(x-1)2。例2.2.2  設(shè)b>a>e， 證明ab>ba?！　》治觯阂Cab>ba，只需證bl</p><p>　　3利用函數(shù)的凹凸性證明不等式</p><p>　　3.1定義1[2]　如果函數(shù)對(duì)于任意的兩點(diǎn)，都有</p><p><b>　　或者，</b></p&

16、gt;<p>　　則稱(chēng)函數(shù)在內(nèi)是凸函數(shù)，或者是凹函數(shù)．上述定義性質(zhì)還可推廣為：</p><p><b>　　或者．</b></p><p>　　函數(shù)凹凸性的定義給出了函數(shù)之間的不等關(guān)系式，利用函數(shù)的凹凸性可以巧證一些函數(shù)不等式，特別是所給的式子為兩項(xiàng)之和，三項(xiàng)之和，并且它們的通項(xiàng)有相似的表達(dá)式時(shí)，可考慮用函數(shù)凹凸性的定義來(lái)證明不等式．</p>

17、<p>　　例3.1.1 已知求證：</p><p>　　證明：設(shè),則為上的凸函數(shù)，由凸函數(shù)的定義知所以.例3.2 求證：xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2,(x>0,y>0,x≠y) 　　令 f(t)=tlnt(t>0), f′(t)=lnt+1, f″(t)=1t>0, 故 f(t)=tlnt在（x,y）或（y,x）,x>0,y>0是凹的，

18、于是　　12［f(x)+f(y)］>f(x+ y2)　　即  12［f(x)+f(y)］>x+ y2ln x+ y2　　即  xlnx+ylny>(x+y)lnx+ y2　　類(lèi)似的如：證明 ex+e y2>ex+ y2, (x≠y)。</p><p>　　注：函數(shù)的凹凸性證明方法首要是找到輔助函數(shù)f(x)，利用函數(shù)f(x)在所給區(qū)間［a,b］的二階導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的

19、凹凸性?！　″(x)>0 函數(shù)為凹的,則 f(a)+f(b)>2f(a+b2)；　　f″(x)<0 函數(shù)為凸的,則 f(a)+f(b)<2f(a+ b2)。</p><p>　　4利用拉格朗日中值定理證明不等式</p><p>　　4.1拉格朗日中值定理2[1] 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即</p><

20、;p>　　拉格朗日中值定理的形式為，等式左端為函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值之差，右端是區(qū)間的長(zhǎng)度乘以，它的意義在于建立了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系，通過(guò)構(gòu)造函數(shù),可以證明一些不等式．</p><p>　　例4.1.1 求證： .</p><p>　　證明：令，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理知，存在，使得，即，因?yàn)?lt;/p><p>　　所以 ，從而原命題得證．

21、</p><p>　　5利用函數(shù)的最值、極值定理證明不等式</p><p>　　5.1定義2[1] 設(shè)為定義在上的函數(shù)，若存在對(duì)一切有 ，則稱(chēng)在上有最大（?。┲?，并稱(chēng)為在上的最大（小）值．</p><p>　　5.2定義3[1] 若函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)對(duì)于一切有 ，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)取得極大（?。┲?，稱(chēng)點(diǎn)為極大（?。┲迭c(diǎn)，極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值．</p&g

22、t;<p>　　5.3定理3[1] 設(shè)在的某領(lǐng)域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且．若，則在取得極大值；若，則在點(diǎn)取得極小值．</p><p>　　如果所設(shè)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，我們可以考慮利用函數(shù)的最值（極值）證明一些不等式，其步驟是由不等式構(gòu)造輔助函數(shù)，找出函數(shù)的極值點(diǎn)、最值點(diǎn)，然后由最值、極值證得不等式．</p><p>　　例5 設(shè), 證明：.</p><

23、;p>　　證明：設(shè)，，求導(dǎo)、并令 得, 而 () ，故在處取得極小值，比較在區(qū)間端點(diǎn)和駐點(diǎn)的函數(shù)值， ，得知的最大值為1，最小值為，故.</p><p>　　6利用泰勒公式證明不等式</p><p>　　6.1定義4[3] 若函數(shù)在上存在n+1階導(dǎo)數(shù)，則 有泰勒公式，</p><p>　　其中；當(dāng),該公式稱(chēng)為馬克勞林公式，即</p>&l

24、t;p><b>　　其中.</b></p><p>　　當(dāng)不等式中含有冪函數(shù)時(shí)，可以考慮用泰勒公式證明，特別是求證的不等式中含有形如、、、、時(shí)，可把、、、、用泰勒公式展開(kāi)，從而巧證不等式．</p><p>　　例6.1.1 證明： ().</p><p>　　證明：設(shè) ，由一階馬克勞林公式有： </p><p>

25、;<b>　　( )</b></p><p>　　所以 ,再由二階馬克勞林公式有：</p><p><b>　　( ) </b></p><p>　　所以，從而 (其中).</p><p>　　注：本題也可以利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明，由此可見(jiàn)高等數(shù)學(xué)知識(shí)在不等式的證明中的應(yīng)用是非常廣泛靈活的．&l

26、t;/p><p>　　例6.2 求證|f′(x)|≤2a+b2 </p><p>　　已知f(x)在［0，1］上具有二階可導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足條件|f(x)|≤a,|f(x)|≤b,其中a,b都是非負(fù)常數(shù)，c是（0，1）內(nèi)任意一點(diǎn)，　　分析:  已知f(x)二階可導(dǎo)，應(yīng)考慮用二階泰勒展開(kāi)式。本題涉及證明|f′(x)|≤2a+ b2，應(yīng)在特定點(diǎn)x=c處將f(x)按泰勒公式展開(kāi)。</

27、p><p>　　證明： 對(duì)f(x)在x=c處用泰勒公式展開(kāi)，得　　f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+f″(ξ)2!(x-c)2（1） </p><p>　　其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1，在（1）式中令x=0，有　　f(0)=f(c)+f′(c)(0-c)+f″(ξ)2! c2, 0<ξ1<C<1　　在（1）式中令x=1，有f(1)=f(c)+

28、f′(c)(1-c)+f″(ξ)2! c2, 0<C<&XI;2<1　　上述兩式相減得　　f(1)-f(0)=f′(c)12! ［f″(ξ2)(1-c)2-f″(ξ1) c2］,   于是</p><p>　　|f′(c)|=|f(1)-f(0)-12 ［f″(ξ2)(1-c)2-f″(ξ1) c2］|　　≤|f(1)|+|f(0)|+12|f″(ξ2)| (1

29、-c)2+12 |f″(ξ1)| c2　　≤2a+ b2［(1-c)2+ c2］,   又因當(dāng)c∈(0,1)時(shí)，有　　(1-c)2+ c2≤1   故 |f′(c)|≤2a+ b2　　因這里ξ與x有關(guān)，可將其記為ξ(x)，那么當(dāng)令x分別取0和1時(shí)，對(duì)應(yīng)的ξ可分別用ξ1和ξ2表示。</p><p>　　注:泰勒展開(kāi)式的證明常用的是將函數(shù)f(x)在所給區(qū)間端點(diǎn)或一些特定點(diǎn)

30、（如區(qū)間的中點(diǎn)，零點(diǎn)）進(jìn)行展開(kāi)，通過(guò)分析余項(xiàng)在ξ點(diǎn)的性質(zhì)，而得出不等式。另外若余項(xiàng)在所給區(qū)間上不變號(hào)，也可將余項(xiàng)舍去而得到不等式。</p><p>　　7利用定積分的性質(zhì)證明不等式</p><p>　　7.1定理4[1] 設(shè)與為定義在上的兩個(gè)可積函數(shù)，若,則.</p><p>　　定積分法是利用積分學(xué)中的知識(shí)來(lái)證明不等式的一種方法，它主要是利用積分學(xué)中的基本公式、

31、基本性質(zhì)、基本定理來(lái)證明不等式．</p><p>　　例7.1 已知，求證：.</p><p>　　證明：取，則，所以，所以</p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以，從而原命題得證．</p><p>　　8利用柯西不等式證明不等式</p><p>

32、;　　8.1定義5[4] 若為任意的實(shí)數(shù)，則有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，這個(gè)公式稱(chēng)為柯西不等式．</p><p>　　例8.1.1 證明：.</p><p>　　證明：由柯西不等式得.</p><p>　　注：本題也可以用初等方法證明．&l

33、t;/p><p>　　例8.2求證〖JF(Z〗baf(x)dx〖JF)〗·〖JF(Z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2〖JF)〗</p><p>　　已知f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且f(x)>0,證明：(〖JF(Z〗baf(x)1f(x)dx)2〖JF)〗≤〖JF(Z〗baf(x))2 dx〖JF)〗·〖JF(Z〗ba（1f(x))2dx〖JF)〗</p

34、><p>　　即得  〖JF(Z〗baf(x)dx〖JF)〗·〖JF(Z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2〖JF〗</p><p>　　注：柯西施瓦茨不等式是一個(gè)常用的不等式，在證明過(guò)程中我們可以直接利用常用不等式進(jìn)行證明，既方便又快捷。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>

35、;　　[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析[M]（第二版）.北京：高等教育出版社，1991.3.</p><p>　　[2] 何勝明，劉永春.利用函數(shù)的凹凸性證明不等式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（湖北），1994.9.第18卷第5期．</p><p>　　[3] 葉殷，何克樹(shù)，用高等數(shù)學(xué)證明不等式的若干中方法[J].西昌師范高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2004.12，第16卷第4期.</p>&