第七章偏微分方程

1、浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,1,第七章 偏微分方程,7.1 一般介紹7.2 一階雙曲型方程的差分求解法7.3 一階雙曲型方程的特征線求解法7.4 一階雙曲型方程的線上求解法7.5 二階橢圓型方程的差分求解法7.6 二階橢圓型方程的有限元求解法7.7 二階橢圓型方程的加權(quán)殘差求解法7.8 二階拋物型方程的差分求解法7.9 二階拋物型方程的線上求解法7.10 二階雙

2、曲型方程的特征線求解法,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,2,7.1 偏微分方程的一般介紹 Partial Differential Equations(PDEs),自變量數(shù) 至少2個,階數(shù) 方程中導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù),性態(tài) 以一階方程為例,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,3,7.1,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,4,7.1,類型 一階栓區(qū)型方程,流動方程Advection Equation(AE),二階線

3、性方程,實用數(shù)值計算方法,5,7.1,求解方法有限差分法 Method of Finite Differences (MFD)特征線法 Method of Characteristics (MOC)線上求解法 Method of Lines (MOL)有限元素法 Method of Finite Elements

4、 (MFE)加權(quán)殘差法 Method of Weighled Residuals (MWR) 問題 收斂性 Convergence 當(dāng)采取的步驟趨于無限時，數(shù)值結(jié)果是否趨于理論值？ 穩(wěn)定性 Stability 在某一步引入的誤差，經(jīng)多步數(shù)值計算后，會擴(kuò)大或抑制？,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,6,7.2 一階雙曲型方程的差分求解法,或稱流動方程 Advective

5、 Advection Equation (AE) v為流速因子該方程的介折解,求具體解時需要提供2個輔助條件,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,7,7.2 assuming the forcing function is a Rump The solution of

6、 is shown below.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,圖 7.1 Propagation of the Wave Front,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,8,7.2.1 最簡單的差分化格式構(gòu)想,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,圖 7.2,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,9,7.2.1 以上方法稱為 時間鑲嵌空

7、間中心 的差分表達(dá) Forward Time Centered Space FTCS represetation 實際上這個方法不能用：不穩(wěn)定的方法 Unstable Method 考慮數(shù)據(jù)誤差 r 由于原方程為線性，故誤差的傳播關(guān)系

8、 是與原方程完全相同的差分方程 差分方程獨(dú)立解的一般形式 Independent Solutions of Difference Equations,,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,10,7.2.1,應(yīng)為補(bǔ)充解和特殊解之和 補(bǔ)充解系由下式求出,補(bǔ)充解系由兩個獨(dú)立解組成,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,11,7.2.1 差分方程的解 可用算符運(yùn)算方

9、法 Operator Calculus 導(dǎo)出 差分算符 Difference Operator,它和微分算符一樣，是一種線性算符用于線性二階差分方程,和微分方程類似，它的補(bǔ)充解可由下式得到,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,12,7.2.1故補(bǔ)充系由兩個獨(dú)立解組成 （Independent

10、 Solutions）,兩個獨(dú)立解為,差分方程的一個獨(dú)立解（Eigenmode）,,,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,13,7.2.1 差分方程獨(dú)立解的一般形式,用于本題的情況,將獨(dú)立解代入差分表達(dá)式,得到,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,14,7.2.2 差分格式的改進(jìn),Courant Condition,,,,,,,,,,,,,,,,,,,圖 7.3,圖 7.4,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,15,7.2.2,Coura

11、nt 條件的物理意義波形傳遞系沿x=vt線?t節(jié)點的選取 當(dāng)節(jié)點取在線上： 當(dāng)節(jié)點取在線外： 當(dāng)節(jié)點取在線內(nèi)： Lax差分格式也寫成以下形式可以看成為以下偏微分方程的FTCS差分式,,dissipative term 耗散項Numerical Viscosity 數(shù)值黏度,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,圖 7.5,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,16,7.3 一階雙曲型方程的特征線求解

12、法Method of Characteristics (MOC),這是原方程的轉(zhuǎn)換方程，它們的解相同。 為原方程的特征線方程,在特征線上，滿足 的為解。,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,17,7.3.1 Method of Characteristics

13、 (MOC),,,,,,,,,,,,,,,圖 7.6,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,18,7.3.1 Method of Characteristics (MOC),,,,,,,,,,,,,,,圖 7.7,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,19,7.3.1,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,20,7.4 一階雙曲型方程的線上求解法Method of Lines (MOL),有限差分法：偏微分方程完全離散成為

14、 一組差分方程 用線性代數(shù)方程組求解 線上求解法：偏微分方程部分離散成為 一組常微分方程 用常微分方程積分方法求解,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,21,線上求解法

15、Method of Lines (MOL),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,線間距,,,,積分步長,7.4,圖 7.8,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,22,7.5 二階橢圓型方程的差分求解法,稱為穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程，通式為 Dirichlet 問題 Neumann 問題,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,23,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,u(xm,y)=f2(y),u(x0,y

16、)=f1(y),Laplace 方程的 Dirichlet 邊界條件和 Neumann 邊界條件和 Poisson 方程,邊界條件也需4個，有3類給定方法 Dirichlet 邊 界 條 件 Neumann 邊 界 條 件 混合 邊 界 條 件,7.5,圖 7.9,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,24,7.5.1 Laplace算符的差分表達(dá),用于Laplace算符,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,25,,,,,

17、,,,7.5.1,圖 7.10,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,26,例：Laplace 方程的Dirichlet 邊界問題,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,7.5.1,圖 7.11,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,27,為了提高精度需要加密網(wǎng)絡(luò),,,,,,,,,,,7.5.1,圖 7.12,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,28,Laplace 方程 Dirichlet邊界問題的差分求解,消去法 直接迭代 Liebmann 方法 相

18、繼松弛 S.O.R. 方法 交替方向A.D.I.方法,7.5.1,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,29,7.6 二階橢圓型方程的有限元素法求 Method of Finite Elements (MFE),以Laplace 方程的Dirichlet 問題為例根據(jù)變分原則VariationalPrinciples等價性定理以上方程的解將使以下泛函為最小。,,,,,,圖 7.13,浙江大學(xué),

19、實用數(shù)值計算方法,30,7.6,將D進(jìn)行剖分，常用的是三角剖分法對任何一個元素用二原線性函數(shù)近似在三個頂點上可得到,其中,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,31,,,,,,7.6,,,,,,,,,,,,,,,,,Ui=Wi,Uk=Wk,Uj=Wj,圖 7.14,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,32,7.6,所以其中既然頂點坐標(biāo)均為規(guī)定，所以并有,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,33,7.6,使泛函最小的問題，即對

20、近似為對求極值，或因此得到：可解得,n為內(nèi)部節(jié)點數(shù),邊界上的W為給定,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,34,7.6,對于更為一般性的情況需要極小化的泛函將是也可剖分為有限個元素后求解,,,,,,,,,圖 7.15,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,35,7.8 二階拋物型方程的差分求解法,動態(tài)擴(kuò)散方程對于一維空間用差商代替微商，可以有各種選擇，例如所以有需要另有更方便的方法,

21、浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,36,7.8,顯式方法得到或者：則有：,,,,,,,,,,,,,,圖 7.16,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,37,7.8,示例：取得到的數(shù)值解與以下解析解比較,飽和蒸汽C2H5OH,,,,,,,,,,,,,,空氣,,,,圖 7.17,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,38,,,,,,Number of time steps,Analytical SolutionsNumerica

22、l Solutions,Analytical versus Numerical SolutionsDiffusion Dynamics r?0.25,7.8,圖 7.18,浙江大學(xué),實用數(shù)值計算方法,39,,,,,,Number of time steps,Analytical SolutionsNumerical Solutions