隨機變量函數(shù)的分布

1、三、二維離散型隨機變量的分布律,一、問題的提出,四、二維連續(xù)型隨機變量的概率密度,第三章 多維隨機變量及其分布 二維隨機變量、聯(lián)合分布與邊緣分布,五、均勻分布和正態(tài)分布,,二、二維隨機變量的分布函數(shù),六、小結(jié),,,,,,,一、問題的提出,,從本講起，我們開始第三章的學習.,一維隨機變量及其分布,,多維隨機變量及其分布,由于從二維推廣到多維一般無實質(zhì)性的困難，我們重點討論二維隨機變量 .,它是第二章內(nèi)容的推廣.,,,到現(xiàn)在為止，我

2、們只討論了一維隨機變量及其分布. 但有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述.,在打靶時,命中點的位置是由一對隨機變量(兩個坐標)來確定的.,飛機的重心在空中的位置是由三個隨機變量 (三個坐標）來確定的等等.,,一般地，我們稱n個隨機變量的整體X=(X1, X2, …，Xn)為n維隨機變量或隨機向量. 以下重點討論二維隨機變量.,請注意與一維情形的對照 .,二、分布函數(shù),,,,,,的函數(shù)值就是隨機點落在如圖所

3、示,區(qū)域內(nèi)的概率:,,+,+,-,-,邊緣分布,,對任意隨機變量 (X,Y)，,X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為,則(X,Y)關于X的邊緣分布函數(shù)為,(X,Y)關于Y的邊緣分布函數(shù)為,三、離散型隨機變量的分布律,,二維隨機變量 ( X,Y ) 的分布律也可表示為,,例1,,設隨機變量 X 在1，2，3，4四個整數(shù)中等可能地取一個值，另一個隨機變量Y在1~X中等可能取一整數(shù)值. 試求(X,Y)的分布律.,,解,且由乘法公式得,的取值情況是,j取不大

4、于i的整數(shù).,于是(X,Y)的分布律為,,,,,,,,,,例2,一個袋中有三個球,依次標有數(shù)字1,2,2,從中任取一個, 不放回袋中, 再任取一個, 設每次取球時,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分別記第一次和第二次取到的球上標有的數(shù)字, 求( X, Y ) 的分布律與分布函數(shù).,( X, Y ) 的可能取值為,解,,故 ( X , Y ) 的分布律為,下面求分布函數(shù).,,,,所以( X ,Y ) 的分布函數(shù)為,,說明,

5、離散型隨機變量 ( X ,Y ) 的分布函數(shù)歸納為,,邊緣分布律,,對離散型隨機變量( X,Y )，,則(X,Y)關于X的邊緣分布律為,(X,Y)關于Y 的邊緣分布律為,X和Y 的聯(lián)合分布律為,,,,例3,已知下列分布律求其邊緣分布律.,,注意,聯(lián)合分布,,邊緣分布,解,,四、連續(xù)型隨機變量的概率密度,,表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于1.,幾何意義,幾何上 z=f(x,y) 表示空間的一個曲面，,

6、的值等于以G為底，以曲面 z=f(x,y) 為頂面的柱體體積.,,,不難得出，對連續(xù)型隨機變量(X,Y)，其概率密度與分布函數(shù)的關系如下：,在 f (x,y)的連續(xù)點,邊緣概率密度,對連續(xù)型隨機變量 ( X,Y )，,X和Y的聯(lián)合概率密度為,則( X,Y )關于X的邊緣概率密度為,( X,Y )關于Y的邊緣概率密度為,,例4,設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為,(2) 求分布函數(shù)F(x,y);,(1)求概率,(3) 求邊緣分布函數(shù),(

7、4) 求邊緣概率密度,,(1) 將 ( X,Y )看作是平面上隨機點的坐標,,即有,,解,,,,例5,解,設隨機變量X和Y具有聯(lián)合概率密度,求邊緣概率密度,,,,在求連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度時，往往要求聯(lián)合概率密度在某區(qū)域上的積分. 當聯(lián)合概率密度是分片表示的時候，在計算積分時應特別注意積分限 .,,下面我們介紹兩個常見的二維分布.,五、兩個常用分布,,設G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二維隨機變量（ X,Y）具有概

8、率密度,則稱（X,Y）在G上,服從均勻分布.,,向平面上有界區(qū)域G上任投一質(zhì)點，若質(zhì)點落在G內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與B的形狀及位置無關. 則質(zhì)點的坐標（ X,Y）在G上服從均勻分布.,,例4,,已知隨機變量 ( X , Y ) 在 D上服從均勻分布,試求( X , Y )的概率密度及分布函數(shù),其中D為 x軸, y軸及直線 y = x+1 所圍成的三角形區(qū)域 .,解,,,,,,所以 ( X , Y ) 的分布函數(shù)為,

9、,正態(tài)分布,,若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度,記作 ( X,Y )～N( ),,二維正態(tài)分布的邊緣概率密度仍是正態(tài)分布 .,證：,由于,于是,則有,即,同理可得,,請同學們思考,邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機變量,其聯(lián)合分布一定是二維正態(tài)分布嗎?,不一定.,舉一反例以示證明.,答,,因此邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機變量,其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布.,,六、小結(jié),,在這一講