概率論與數(shù)理統(tǒng)計[0001]

1、第3章 多維隨機向量及其概率分布,3.1 隨機向量及其聯(lián)合分布函數(shù),3.3 隨機向量的獨立性,3.2 二維離散型和連續(xù)型隨機向量,3.4 隨機向量的函數(shù)及其概率分布,3.1 隨機向量及其聯(lián)合分布函數(shù),一、多維隨機向量,二、聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),三、邊緣分布函數(shù),一、多維隨機向量,定義,以后除非特別聲明，一般只討論二維隨機向量,實例1 炮彈的彈著點的位置 ( X, Y ) 就是一個二維隨機變量.,二維隨機變量 ( X, Y )

2、 的性質(zhì)不僅與 X 、Y 有關,而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關系.,實例2 考查某一地 區(qū)學前兒童的發(fā)育情況 , 則兒童的身高 H 和體重 W 就構(gòu)成二維隨機變量 ( H, W ).,說明,二、聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),,,,二元分布函數(shù)的幾何意義,,y,x,o,,,,,,x1,x2,y1,y2,,,,,,,,(X, Y ),(x2 , y2),(x2 , y1),(x1 , y2),(x1 , y1),,分布函數(shù)的基本性質(zhì)

3、：,且有,證明,,三、邊緣分布函數(shù),,,邊緣分布函數(shù)也稱為邊際分布函數(shù)或邊沿分布函數(shù),3.2 二維離散型和連續(xù)型隨機向量,一、二維離散型隨機向量,二、二維連續(xù)型隨機向量,定義 若隨機變量X和Y的所有可能取值為有限個或可列個，則稱(X,Y)為二維離散型隨機向量.,設X的所有可能取值為,,Y的所有可能取值為,,則稱,,為二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率函數(shù)或聯(lián)合概率分布,一、二維離散型隨機向量,聯(lián)合概率函數(shù)的表格形式，稱為(X,Y)的

4、聯(lián)合分布律或聯(lián)合分布列,二維離散型隨機向量的聯(lián)合概率函數(shù)具有下列性質(zhì):,,,二維離散型隨機向量的聯(lián)合分布函數(shù)為,,例1,一袋中裝有2只白球和3只黑球,進行有放回取球,,,,若進行不放回取球,例2 一袋中裝有4只球,依次標有號碼1,2,2,3,從袋中有放回取求兩次,X,Y分別表示兩次取得球上的號碼,則(X,Y)的聯(lián)合概率分布為,,思考,將本例中有放回取球改為不放回取球,結(jié)果會如何?,二維離散型隨機向量的邊緣分布,,,,,,,,,,,例3,

5、在本節(jié)例1.中,,若進行不放回取球,若進行放回取球,定義,二、二維連續(xù)型隨機向量,二維隨機向量的聯(lián)合密度函數(shù)具有以下性質(zhì),,,,,,,,,例4,解,由密度函數(shù)性質(zhì),有,,,,例5,解,(2),二維連續(xù)型隨機向量的邊緣密度函數(shù),定義,同理可得 Y 的邊緣分布函數(shù),Y 的邊緣概率密度.,,例6 求隨機向量(X,Y)的邊緣分布函數(shù)和邊緣密度函數(shù)，已知其聯(lián)合分布函數(shù)為,,解,邊緣分布函數(shù)分別為,,,邊緣密度函數(shù)為,,例7 求隨機向量(X,Y

6、)的邊緣密度函數(shù)，已知其聯(lián)合密度函數(shù)為,解,由邊緣密度函數(shù)和聯(lián)合密度函數(shù)的關系可知,,,,,,,所以,,同理,,1.均勻分布,定義 設 D 是平面上的有界區(qū)域,其面積為 S,若二維隨機變量 ( X , Y ) 具有概率密度,則稱 ( X , Y ) 在 D 上服從均勻分布.,兩個常用的分布,2.二維正態(tài)分布,若二維隨機向量 ( X,Y ) 具有概率密度,二維正態(tài)分布的圖形,例9,解,由于,于是,則有,即,同理可得,二維正態(tài)分布的兩個

7、邊緣分布都是一維正態(tài)分布,,請同學們思考,邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機變量,其聯(lián)合分布一定是二維正態(tài)分布嗎?,不一定.,舉一反例以示證明.,答,因此邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機變量,其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布.,作業(yè),P89練習3.2 1 2 3,,3.3 隨機向量的獨立性,在多維隨機向量中，各分量之間有的相互影響，有的毫無關系。譬如在研究父子身高時，父親的身高Y往往會影響兒子的身高X.假如讓父子各擲一個骰子，出現(xiàn)的點數(shù)Y

8、1與X1之間就看不出任何關系.這種相互之間沒有任何影響的隨機變量稱為相互獨立的隨機變量.,1.定義,一、隨機變量的獨立性,2.說明,(1) 若離散型隨機變量 ( X,Y )的聯(lián)合分布律為,解,例1,(1)由分布律的性質(zhì)知,,,,,,,特別有,又,(2) 因為 X 與 Y 相互獨立, 所以有,,,,,,解,由于X 與Y 相互獨立,,例2,因為 X 與 Y 相互獨立,,解,所以,求隨機變量 ( X, Y ) 的分布律.,例4. 設二維隨機

9、向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為,其中參數(shù) ,這個分布稱為二維指數(shù)分布,試討論X和Y的獨立性.,解: 由已知可得邊緣分布函數(shù),例5,例6 某碼頭能容納一只船,現(xiàn)預知某日將獨立地來到甲,乙兩船,且在24小時內(nèi)各時刻來的可能性都相等,如果它們需要?？康臅r間分別為3小時及4小時,試求有一船要在江中等待的概率.,∴關于X的邊緣密度函數(shù),∴關于Y的邊緣密度函數(shù),解:設X表示甲船到達碼頭的時間.Y表示乙船到達碼頭的時

10、間.由題中條件,X與Y都服從[0,24]上的均勻分布,因為X與Y相互獨立,故(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為,事件{有一只船在江中等待}={Y<X<Y+4}+{X<Y<X+3},表示:甲船來時,乙船已在碼頭,表示:乙船來時,甲船已在碼頭,例7,,,,解,,,所以,根據(jù)聯(lián)合分布列和邊緣分布列的關系,不難得到X和Y的聯(lián)合分布列,,,由于,所以X,Y不相互獨立,99年考研題,8分,,重要結(jié)論,作業(yè),P94 練習3.3

11、1 2 3 4,,3.4 隨機向量的函數(shù)及其概率分布,一、離散型隨機變量函數(shù)的分布,二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布,為了解決類似的問題下面我們討論隨機變量函數(shù)的分布.,一、離散型隨機變量函數(shù)的分布,例1,解,等價于,,,,,,,,,概率,,,,,結(jié)論,例2 設兩個獨立的隨機變量 X 與 Y 的分布律為,求隨機變量 Z=X+Y 的分布律.,解,二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布,1. Z=X+Y 的分布,,由此可得概率密度函