有限元分析基礎(chǔ)

1、第六章有限元分析基礎(chǔ),主要內(nèi)容,1有限元方法的歷史 2有限元分析的作用3有限元分析過程的概要4有限元分析的目的和概念5 一維階梯桿結(jié)構(gòu)問題的求解 6有限元分析的基本流程 7有限元分析的特點(diǎn)8桿梁結(jié)構(gòu)分析的工程概念,有限元方法的歷史,有限元方法的思想最早可以追溯到古人的“化整為零”、“化圓為直”的作法，如“曹沖稱象”的典故，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽采用割圓法來對(duì)圓周長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算；這些實(shí)際上都體現(xiàn)了離散逼近的思想，即采用大量的簡(jiǎn)單小物

2、體來“沖填”出復(fù)雜的大物體。,早在1870年，英國科學(xué)家Rayleigh就采用假想的“試函數(shù)”來求解復(fù)雜的微分方程，1909年Ritz將其發(fā)展成為完善的數(shù)值近似方法，為現(xiàn)代有限元方法打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。,20世紀(jì)40年代，由于航空事業(yè)的飛速發(fā)展，設(shè)計(jì)師需要對(duì)飛機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行精確的設(shè)計(jì)和計(jì)算，便逐漸在工程中產(chǎn)生了的矩陣力學(xué)分析方法；1943年，Courant發(fā)表了第一篇使用三角形區(qū)域的多項(xiàng)式函數(shù)來求解扭轉(zhuǎn)問題的論文；1956年波音公司的Turner

3、，Clough，Martin和Topp在分析飛機(jī)結(jié)構(gòu)時(shí)系統(tǒng)研究了離散桿、梁、三角形的單元?jiǎng)偠?表達(dá)式；1960年Clough在處理平面彈性問題，第一次提出并使用“有限元方法” 的名稱；1955年德國的Argyris出版了第一本關(guān)于結(jié)構(gòu)分析中的能量原理和矩陣方法的書，為后續(xù)的有限元研究奠定了重要的基礎(chǔ)，1967年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本有關(guān)有限元分析的專著；1970年以后，有限元方法開始應(yīng)用于處理非線性和大變形問題

4、；,隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，基于有限元方法原理的軟件大量出現(xiàn)，并在實(shí)際工程中發(fā)揮了愈來愈重要的作用；目前，專業(yè)的著名有限元分析軟件公司有幾十家，國際上著名的通用有限元分析軟件有ANSYS，ABAQUS，MSC/NASTRAN，MSC/MARC，ADINA，ALGOR，PRO/MECHANICA，IDEAS，還有一些專門的有限元分析軟件，如LS-DYNA，DEFORM，PAM-STAMP, AUTOFORM，SUPER-FORGE等,有

5、限元分析的作用,基于功能完善的有限元分析軟件和高性能的計(jì)算機(jī)硬件對(duì)設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行詳細(xì)的力學(xué)分析，以獲得盡可能真實(shí)的結(jié)構(gòu)受力信息，就可以在設(shè)計(jì)階段對(duì)可能出現(xiàn)的各種問題進(jìn)行安全評(píng)判和設(shè)計(jì)參數(shù)修改，據(jù)有關(guān)資料，一個(gè)新產(chǎn)品的問題有60％以上可以在設(shè)計(jì)階段消除，甚至有的結(jié)構(gòu)的施工過程也需要進(jìn)行精細(xì)的設(shè)計(jì)，要做到這一點(diǎn)，就需要類似有限元分析這樣的分析手段。,下面舉出幾個(gè)涉及土木工程、車輛工程、航空工程以及生物工程的實(shí)例,北京奧運(yùn)場(chǎng)館的鳥巢由縱橫交錯(cuò)

6、的鋼鐵枝蔓組成，它是鳥巢設(shè)計(jì)中最華彩的部分，見圖1-2，也是鳥巢建設(shè)中最艱難的。看似輕靈的枝蔓總重達(dá)42000噸，其中，頂蓋以及周邊懸空部位重量為14000噸，在施工時(shí)，采用了78根支柱進(jìn)行支撐，也就是產(chǎn)生了78個(gè)受力區(qū)域，在鋼結(jié)構(gòu)焊接完成后，需要將其緩慢而又平穩(wěn)地卸去，讓鳥巢變成完全靠自身結(jié)構(gòu)支撐；,因而，支撐塔架的卸載，實(shí)際上就是對(duì)整個(gè)鋼結(jié)構(gòu)的加載，如何卸載？需要進(jìn)行非常詳細(xì)的數(shù)值化分析，以確定出最佳的卸載方案。2006年9月17日

7、成功地完成了整體鋼結(jié)構(gòu)施工的最后卸載。,有限元分析過程的概要,本課題先通過一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例，采用直接的推導(dǎo)方法，逐步展示有限元分析的基本流程，從中可以了解有限元方法的思路形成過程，以及如何由具體的求解步驟歸納出一種通用的標(biāo)準(zhǔn)求解方法。,有限元分析的目的和概念,任何具有一定使用功能的構(gòu)件(稱為變形體)都是由滿足要求的材料所制造的，在設(shè)計(jì)階段，就需要對(duì)該構(gòu)件在可能的外力作用下的內(nèi)部狀態(tài)進(jìn)行分析，以便核對(duì)所使用材料是否安全可靠，以避免造成重大安

8、全事故。描述可承力構(gòu)件的力學(xué)信息一般有三類： (1) 構(gòu)件中因承載在任意位置上所引起的移動(dòng)(稱為位移)； (2) 構(gòu)件中因承載在任意位置上所引起的變形狀態(tài)(稱為應(yīng)變)； (3) 構(gòu)件中因承載在任意位置上所引起的受力狀態(tài)(稱為應(yīng)力)；,若該構(gòu)件為簡(jiǎn)單形狀，且外力分布也比較單一，如：桿、梁、柱、板就可以采用材料力學(xué)的方法，一般都可以給出解析公式，應(yīng)用比較方便；但對(duì)于幾何形狀較為復(fù)雜的構(gòu)件卻很難得到準(zhǔn)確的結(jié)果，甚

9、至根本得不到結(jié)果。,,有限元分析的目的：針對(duì)具有任意復(fù)雜幾何形狀變形體，完整獲取在復(fù)雜外力作用下它內(nèi)部的準(zhǔn)確力學(xué)信息，即求取該變形體的三類力學(xué)信息(位移、應(yīng)變、應(yīng)力)。,,在準(zhǔn)確進(jìn)行力學(xué)分析的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)師就可以對(duì)所設(shè)計(jì)對(duì)象進(jìn)行強(qiáng)度、剛度等方面的評(píng)判，以便對(duì)不合理的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行修改，以得到較優(yōu)化的設(shè)計(jì)方案；然后，再次進(jìn)行方案修改后的有限元分析，以進(jìn)行最后的力學(xué)評(píng)判和校核，確定出最后的設(shè)計(jì)方案。圖2-1給出一個(gè)針對(duì)大型液壓機(jī)機(jī)架的設(shè)計(jì)過

10、程以及采用有限元分析的狀況。,為什么采用有限元方法就可以針對(duì)具有任意復(fù)雜幾何形狀的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，并能夠得到準(zhǔn)確的結(jié)果呢？這是因?yàn)橛邢拊椒ㄊ腔凇半x散逼近”的基本策略，可以采用較多數(shù)量的簡(jiǎn)單函數(shù)的組合來“近似”代替非常復(fù)雜的原函數(shù)。,,一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)，可以通過一系列的基底函數(shù)的組合來“近似”，也就是函數(shù)逼近，其中有兩種典型的方法：(1)基于全域的展開(如采用傅立葉級(jí)數(shù)展開)，以及(2)基于子域的分段函數(shù)組合(如采用分段線性函數(shù)的連接)；

11、下面，僅以一個(gè)一維函數(shù)的展開為例說明全域逼近與分段逼近的特點(diǎn)。,比較以上兩種方式的特點(diǎn)，可以看出，第一種方式所采用的基本函數(shù) 非常復(fù)雜，而且是在全域上 定義的，但它是高次連續(xù)函數(shù)，一般情況下，僅采用幾個(gè)基底函數(shù)就可以得到較高的逼近精度；而第二種方式所采用的基本函數(shù) 非常簡(jiǎn)單，而且是在子域上 定義的，它通

12、過各個(gè)子域組合出全域 但它是線性函數(shù)，函數(shù)的連續(xù)性階次較低，因此需要使用較多的分段才能得到較好的逼近效果，則計(jì)算工作量較大。,,對(duì)于第一種的函數(shù)逼近方式，就是力學(xué)分析中的經(jīng)典瑞利-里茲方法(Rayleigh-Ritz principle)的思想，而針對(duì)第二種的函數(shù)逼近方式，就是現(xiàn)代力學(xué)分析中的有限元方法的思想，其中的分段就是“單元”的概念。,基于分段的函數(shù)描述具有非常明顯的優(yōu)勢(shì)：(1)可以將原函數(shù)的復(fù)雜性“化繁為簡(jiǎn)

13、”，使得描述和求解成為可能，(2)所采用的簡(jiǎn)單函數(shù)可以人工選取，因此，可取最簡(jiǎn)單的線性函數(shù)，或取從低階到高階的多項(xiàng)式函數(shù)，(3)可以將原始的微分求解變?yōu)榫€性代數(shù)方程。但分段的做法可能會(huì)帶來的問題有：(1)因采用了“化繁為簡(jiǎn)”，所采用簡(jiǎn)單函數(shù)的描述的能力和效率都較低.,,(2)由于簡(jiǎn)單函數(shù)的描述能力較低，必然使用數(shù)量眾多的分段來進(jìn)行彌補(bǔ)，因此帶來較多的工作量。綜合分段函數(shù)描述的優(yōu)勢(shì)和問題，只要采用功能完善的軟件以及能夠進(jìn)行高速處理的計(jì)算

14、機(jī)，就可以完全發(fā)揮“化繁為簡(jiǎn)”策略的優(yōu)勢(shì)，有限元分析的概念就在于此。,一維階梯桿結(jié)構(gòu)問題的求解,一維問題，即1D(one dimension)問題，是最簡(jiǎn)單的分析對(duì)象，下面就以一個(gè)1D階梯桿結(jié)構(gòu)為例，詳細(xì)給出各種方法求解的過程，直觀地引入有限元分析的基本思路，并以此逐步介紹有限元分析的過程。,,討論：1、以上完全按照材料力學(xué)的方法，將對(duì)象進(jìn)行分解來獲得問題的解答，它所求解的基本力學(xué)變量是力（或應(yīng)力），由于以上問題非常簡(jiǎn)單，而且是靜定問題

15、，所以可以直接求出，但對(duì)于靜不定問題，則需要變形協(xié)調(diào)方程才能求解出應(yīng)力變量； (上例是先求力-應(yīng)力-應(yīng)變-位移），,2、若采用位移作為首先求解的基本變量則可以使問題的求解變得更規(guī)范一些，下面就基于A、B、C三個(gè)點(diǎn)的位移 來進(jìn)行以上問題的求解,例題2.2(2) 1D階梯桿結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移求解及平衡關(guān)系所處理的對(duì)象與例題2.2(1)相同，要求分別針對(duì)每個(gè)連接節(jié)點(diǎn)，基于節(jié)點(diǎn)的位移來構(gòu)建相應(yīng)的平衡關(guān)系，然后再進(jìn)行求解

16、。,解答：考慮圖2-3所示桿件的受力狀況，分別畫出每個(gè)節(jié)點(diǎn)的分離受力圖，如圖2-6所示。,,式(2-27)的物理含義就是內(nèi)力與外力的平衡關(guān)系，由式(2-29)可知，內(nèi)力表現(xiàn)為各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的內(nèi)力，并且可以通過節(jié)點(diǎn)位移 來獲取。由方程(2-23)可知，這是一個(gè)基于節(jié)點(diǎn)A、B、C描述的全結(jié)構(gòu)的平衡方程，該方程的特點(diǎn)為： (a)基本的力學(xué)參量為節(jié)點(diǎn)位移 和節(jié)點(diǎn)力 。 (b)

17、直接給出全結(jié)構(gòu)的平衡方程，而不是象例題2.2(1)那樣，需要針對(duì)每一個(gè)桿件去進(jìn)行遞推。,,,(c)在獲得節(jié)點(diǎn)位移變量 后，其它力學(xué)參量（如應(yīng)變和應(yīng)力），都可以分別求出（見式(2-26)）為了將方程(2-23)寫成更規(guī)范、更通用的形式，用來求解例題2.2(1)所示結(jié)構(gòu)的更一般的受力狀況，下面在式(2-23)的基礎(chǔ)上，直接推導(dǎo)出通用平衡方程。,可以看出：方程(2-31)的左端就是桿件①的內(nèi)力表達(dá)和桿件②的內(nèi)力表達(dá)之

18、和，這樣就將原來的基于節(jié)點(diǎn)的平衡關(guān)系，變?yōu)橥ㄟ^每一個(gè)桿件的平衡關(guān)系來進(jìn)行疊加。這里就自然引入單元的概念，即將原整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行“分段”，以劃分出較小的“構(gòu)件”，每一個(gè)“構(gòu)件”上具有節(jié)點(diǎn)，還可以基于節(jié)點(diǎn)位移寫出該“構(gòu)件”的內(nèi)力表達(dá)關(guān)系，這樣的“構(gòu)件”就叫做單元.,,它意味著在幾何形狀上、節(jié)點(diǎn)描述上都有一定普遍性和標(biāo)準(zhǔn)性，只要根據(jù)實(shí)際情況將單元表達(dá)式中的參數(shù)（如材料常數(shù)、幾何參數(shù)）作相應(yīng)的代換，它就可以廣泛應(yīng)用于這一類構(gòu)件(單元)的描述。從式

19、(2-32)和式(2-33)可以看出，雖然它們分別用來描述桿件①和桿件②的，但它們的表達(dá)形式完全相同，因此本質(zhì)上是一樣，實(shí)際上，它們都是桿單元。,可以將桿單元表達(dá)為如圖2-7所示的標(biāo)準(zhǔn)形式。,,可以看出，方程(2-38)是單元內(nèi)力與外力的平衡方程，它與單元的剛度方程是相同的。 叫做單元的剛度矩陣， 叫做剛度矩陣中的剛度系數(shù),有限元分析的基本流程,例題2.3(1) 三連桿

20、結(jié)構(gòu)的有限元分析過程,,解答：所謂基于單元的分析方法，就是將原整體結(jié)構(gòu)按幾何形狀的變化性質(zhì)劃分節(jié)點(diǎn)并進(jìn)行編號(hào)，然后將其分解為一個(gè)個(gè)小的構(gòu)件（即：?jiǎn)卧?，基于?jié)點(diǎn)位移，建立每一個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)平衡關(guān)系（叫做單元?jiǎng)偠确匠蹋?，?duì)于桿單元來說就是式(2-38)；下一步就是將各個(gè)單元進(jìn)行組合和集成，類似于式(2-31)，,以得到該結(jié)構(gòu)的整體平衡方程（也叫做整體剛度方程），按實(shí)際情況對(duì)方程中一些節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力給定相應(yīng)的值（叫做處理邊界條件），就可以求

21、解出所有的節(jié)點(diǎn)位移和支反力，最后在得到所有的節(jié)點(diǎn)位移后，就可以計(jì)算每一個(gè)單元的其它力學(xué)參量（如應(yīng)變、應(yīng)力）；下面給出該問題的有限元分析過程。,,有限元分析的特點(diǎn),有限元分析的最大特點(diǎn)就是標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化，這種特點(diǎn)使得大規(guī)模分析和計(jì)算成為可能，當(dāng)采用了現(xiàn)代化的計(jì)算機(jī)以及所編制的軟件作為實(shí)現(xiàn)平臺(tái)時(shí)，則復(fù)雜工程問題的大規(guī)模分析就變?yōu)榱爽F(xiàn)實(shí)。實(shí)現(xiàn)有限元分析標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化的載體就是單元，這就需要我們構(gòu)建起各種各樣的具有代表性的單元，一旦有了這些單

22、元，就好像建筑施工中有了一些標(biāo)準(zhǔn)的預(yù)制構(gòu)件(如梁、樓板等)，可以按設(shè)計(jì)要求搭建出各種各樣的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，如圖2-11所示,,有限元分析的最主要內(nèi)容，就是研究單元，即首先給出單元的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力，然后基于單元節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力的相互關(guān)系可以直接獲得相應(yīng)的剛度系數(shù)，進(jìn)而得到單元的剛度方程，實(shí)際上就是要得到針對(duì)單元節(jié)點(diǎn)的平衡方程，這就是單元的剛度方程，就可以針對(duì)實(shí)際的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，根據(jù)實(shí)際的連接關(guān)系，將單元組裝為整體剛度方程，這實(shí)際上也是得到整體結(jié)構(gòu)

23、的基于節(jié)點(diǎn)位移的整體平衡方程。,,因此，有限元方法的主要任務(wù)就是對(duì)常用的各種單元（包括1D、2D、3D問題的單元）構(gòu)造出相應(yīng)的單元?jiǎng)偠染仃?；?dāng)然，如果還采用如例題2.2(2)所示的直接法來進(jìn)行構(gòu)造，會(huì)非常煩瑣，而采用能量原理（如：虛功原理或最小勢(shì)能原理）來建立相應(yīng)的平衡關(guān)系則比較簡(jiǎn)單，這種方法可以針對(duì)任何類型的單元進(jìn)行構(gòu)建，以得到相應(yīng)的剛度矩陣。,桿梁結(jié)構(gòu)分析的工程概念,在建筑結(jié)構(gòu)中，桿、梁、板是主要的承力構(gòu)件，關(guān)于它們的計(jì)算分析對(duì)于建

24、筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)來說具有非常重要的作用，對(duì)桿、梁、板的建模將充分考慮到實(shí)際結(jié)構(gòu)的幾何特征及連接方式，并需要對(duì)其進(jìn)行不同層次的簡(jiǎn)化，可以就某一特定分析目的得到相應(yīng)的1D、2D、3D模型，,,由于在設(shè)計(jì)時(shí)并不知道結(jié)構(gòu)的真實(shí)力學(xué)性能(或許還沒有實(shí)驗(yàn)結(jié)果，或許還得不到精確的解析解)，僅有計(jì)算分析的一些結(jié)果，因此，一種進(jìn)行計(jì)算結(jié)果校核或驗(yàn)證的可能方法，就是對(duì)所分析對(duì)象分別建立1D、2D、3D模型，來進(jìn)行它們之間的相互驗(yàn)證和核對(duì)；圖3-1給出一個(gè)建筑結(jié)構(gòu)