最優(yōu)化理論與最優(yōu)控制

1、最優(yōu)化理論與最優(yōu)控制,研究生學(xué)位課,最優(yōu)控制，顧名思義，就是最好的控制，好的標(biāo)準(zhǔn)是什么？ 在最優(yōu)控制中用一個(gè)綜合的目標(biāo)函數(shù)或性能指標(biāo)來 衡量。,最優(yōu)控制：靜態(tài)最優(yōu)控制 給定條件下，確定系統(tǒng)的一種 動態(tài)最優(yōu)控制 最優(yōu)控制規(guī)律 ，使系統(tǒng)

2、 相應(yīng)的性能指標(biāo)為最優(yōu)。,,靜態(tài)最優(yōu)控制——最優(yōu)化問題的解 不隨時(shí)間變化， 通常又稱為參數(shù)最優(yōu)化問題。 即：最優(yōu)控制變量與時(shí)間t沒關(guān)系或說 在 所研究的時(shí)間區(qū)域內(nèi)為常數(shù)。 目標(biāo)函數(shù)：多

3、元的普通函數(shù)。 最優(yōu)解：古典微分法對普通函數(shù)求極值方法完成。,靜態(tài)最優(yōu)化方法：,a. 解 析法（間接法） 無約束條件 有約束條件,,黃金分割法（0.618法）b. 數(shù)值計(jì)算法（直接法) 區(qū)間消去法 插值法 （一維搜索） 爬山法 步長加速法

4、 （多維搜索法） 方向加速法 c. 以梯度法為基礎(chǔ)的方法d. 網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)化方法,,,,動態(tài)最優(yōu)控制——最優(yōu)化問題的解u（t）隨時(shí)間變化 特點(diǎn)： 受控對象：動態(tài)系統(tǒng) 所有變量：時(shí)間的函數(shù) 最優(yōu)解：古典變分法求泛函的極值問題,a. 動態(tài)最優(yōu)控制緒論及最優(yōu)控

5、制問題的提法b. 最優(yōu)控制問題的變分法c. 最小值原理及應(yīng)用d. 線性二次型最優(yōu)控制問題e. 動態(tài)規(guī)劃及應(yīng)用,課程參考教材：1 系統(tǒng)最優(yōu)化及控制 付曦 著 機(jī)械工業(yè)出版社 電氣自動化新叢書 2 最優(yōu)控制理論及應(yīng)用 解學(xué)書著 清華大學(xué)出

6、版社,第一章 緒論,最優(yōu)控制屬于現(xiàn)代控制技術(shù)的核心內(nèi)容，是現(xiàn)代理論的一個(gè)研究熱點(diǎn)和中心話題。,現(xiàn)代控制理論：以多變量系統(tǒng)控制、最優(yōu)控制、系統(tǒng)辯識為 主要內(nèi)容，最優(yōu)控制發(fā)展早。20世紀(jì)60年 代，現(xiàn)代控制理論才得以迅速發(fā)展。我國 著名學(xué)者：錢學(xué)森 1945年編著的《工程控

7、 制論》直接促進(jìn)了最優(yōu)控制理論的發(fā)展和 形成。,世界上對控制理論發(fā)展有特殊貢獻(xiàn)的學(xué)者：,美國著名學(xué)者：貝爾曼（R.E.Bellman）:動態(tài)規(guī)劃1953- 1957 原蘇聯(lián)著名學(xué)者：龐特里亞金：極小值原理1956-1958，之后 控制論得以迅速發(fā)展，發(fā)展和促進(jìn)了許多新的理論學(xué)科。,最

8、優(yōu)化技術(shù)要解決的主要問題： 研究和解決如何從一切可能的方案中尋找最優(yōu)方案， 其間包括以下任務(wù) 1）根據(jù)所提出的最優(yōu)化問題，建立最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型。 確定變量，列出約束條件，確定目標(biāo)函數(shù)（性能指標(biāo)） 2） 模型分析，選擇合適的最優(yōu)化求解方法。 3）根據(jù)選定的最優(yōu)化算法，編程，求解 。,最優(yōu)化的基本問題： 就是尋找一個(gè)最優(yōu)

9、的控制方案或控制規(guī)律，使所研究的對象（或系統(tǒng)）能最優(yōu)地達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。,例如：1 溫度控制系統(tǒng)，如果出現(xiàn)干擾而產(chǎn)生偏差，用什么方 法最快消除偏差而使系統(tǒng)恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)。 2雷達(dá)高炮隨動系統(tǒng)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)敵機(jī)后，如何以最快速度跟 蹤目標(biāo)而將敵擊落？ 3電梯控制：如何以最快速度平穩(wěn)到達(dá)地面 以上都涉及到：依據(jù)各種不同的研究對象以及人

10、們預(yù)期達(dá)到的 目的，尋求一個(gè)最優(yōu)控制規(guī)律u（t）的問題， 這就是最優(yōu)控制的基本問題的發(fā)展過程。,三、 最優(yōu)控制問題的發(fā)展過程： 古典法 50年代以前，自動控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)有兩種方法

11、 解析法,,這兩種方法都是以傳遞函數(shù)為數(shù)學(xué)模型，來表征系統(tǒng)特征。在S域或Z域內(nèi)用經(jīng)典控制論進(jìn)行設(shè)計(jì)，對簡單的線性調(diào)節(jié)系統(tǒng)，方法有效。 R（S） U（S） C（S）,,,,,一）古典法：（工程試操法） 根據(jù)對象

12、G（S），確定控制器GC（S），使系統(tǒng)滿足各項(xiàng) 性能指標(biāo)，如：超調(diào)量，上升時(shí)間，增益裕度，相位裕度。 缺點(diǎn)：系統(tǒng)設(shè)計(jì)不是最優(yōu)的，所得結(jié)果不是唯一解。 改進(jìn)：解析法：力求使設(shè)計(jì)的系統(tǒng)按一定指標(biāo)要求來達(dá)到最 優(yōu)，從這個(gè)意義上講，解析法比古典法更前進(jìn)一步。,二） 解析法： 核心：目標(biāo)函數(shù)為最小。 設(shè)計(jì)目標(biāo)：求相應(yīng)得目標(biāo)函數(shù)，使誤差的平方積分值Je

13、為小。,,,局限性：系統(tǒng)設(shè)計(jì)僅限于單變量系統(tǒng)，線性定常系統(tǒng)為控制對象，設(shè)計(jì)目標(biāo)僅局限于使誤差最小。50年代中期，隨著最優(yōu)控制在航空航天領(lǐng)域中的應(yīng)用，使局限性有了突破——最優(yōu)控制論設(shè)計(jì)系統(tǒng)。,1）用狀態(tài)空間法研究線性控制系統(tǒng)，提出了可控可觀的概念。 注意：若系統(tǒng)是不可控的，則最優(yōu)控制問題的解是不存在的 2）動態(tài)規(guī)劃法和最優(yōu)化原理 3）極大值原理,總結(jié)：最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的核心，它的主要內(nèi)容是：在滿足一定的約束條件下，

14、根據(jù)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，尋求最優(yōu)控制，使目標(biāo)函數(shù)為極大或極小。 用最優(yōu)控制設(shè)計(jì)系統(tǒng)與傳統(tǒng)解析法相比，特點(diǎn)如下：,1）  適用于多變量，非線性，時(shí)變系統(tǒng)的設(shè)計(jì) 2）  初始條件可任意3） 可以滿足多個(gè)目標(biāo)函數(shù)的要求，并可用于多個(gè)約束的情況4）  便于計(jì)算機(jī)求解,,,,1、無約束與有約束的最優(yōu)化問題 若系統(tǒng)控制變量的取值范圍不受限制，則為無約束的

15、 最優(yōu)化問題，反之為有約束的最優(yōu)化問題。 實(shí)際系統(tǒng)大多為有約束的最優(yōu)化問題,等式約束 約束條件 不等式約束,,2、確定性和隨機(jī)性最優(yōu)化問題,確定性：每個(gè)變量的取值是確定的，可知的。 隨機(jī)性：某些變量的取值是不確定的，但可根據(jù)大量的數(shù) 據(jù)統(tǒng)計(jì)，知道變量服從一定的概率分

16、布。,3 、線性和非線性的最優(yōu)化問題,線性：目標(biāo)函數(shù)和所有的約束條件式均為線性（即它們是變量的 線性函數(shù)）稱為線性最優(yōu)化。非線性：目標(biāo)函數(shù)或約束式中有一個(gè)是變量的非線性函數(shù)，稱為 非線性最優(yōu)化。,4 、靜態(tài)最優(yōu)化和動態(tài)最優(yōu)化:前面已論述。,,建立數(shù)學(xué)模型是求解最優(yōu)控制問題的第一步,建模過程包括： 確定變量（輸入變量，輸出變量，控制變量） 列出約

17、束條件 建立目標(biāo)函數(shù),,數(shù)學(xué)模型表征了受控動態(tài)系統(tǒng)在運(yùn)動過程中所遵循的物理或化學(xué) 規(guī)律。,,狀態(tài)變量 控制變量,,,通常又表征為（線性系統(tǒng)）,,,線性時(shí)變系統(tǒng),,,線性時(shí)不變系統(tǒng),A(t)，B(t) ：時(shí)變矩陣 A，B：定常矩陣,1）數(shù)學(xué)模型的表征：狀態(tài)方程表達(dá)式：,,,,,,2) 有關(guān)數(shù)學(xué)模型中變量的邊界條件，即系統(tǒng)的初態(tài)和終態(tài)，即 確定： ，

18、 。,,,一個(gè)動態(tài)過程，歸根到底，是狀態(tài)空間中的狀態(tài)由初態(tài),,轉(zhuǎn)移到,的過程,目標(biāo)函數(shù)(性能指標(biāo)，性能泛函，目標(biāo)泛函) ： 是衡量“控制作用”效果的性能指標(biāo)。 為了實(shí)現(xiàn)動態(tài)過程中狀態(tài)從,,,,,,可以通過不同的控制來完成，控制效果的好壞，可通過能否達(dá)到所規(guī)定的目標(biāo)函數(shù)來判別。目標(biāo)函數(shù)對不同的問題，有不同的表征：如：時(shí)間最短，燃料最少，成本最低等。,3）容許控制,實(shí)際系統(tǒng)， 都有規(guī)定

19、的取值范圍，它對應(yīng)于M維控制空間 中的某一個(gè)集合 ， 的每一個(gè)取值對應(yīng)于 中的一個(gè) 元素 容許控制 即u(t) 受約束： 極小值原理求解,,,,,,,可任意取值 經(jīng)典變分法求解。,,,,,有不同的控制作用可以完成。為了評價(jià)各種控制作用的優(yōu)劣，需用性能指標(biāo)評價(jià)。 性能指標(biāo)中的形式取決

20、于最優(yōu)控制問題要完成的任務(wù)，不 同的最優(yōu)控制問題。 不同的性能指標(biāo)，采用不同的控制作用 ,性能指標(biāo)J不同。 J是控制u(t)的函數(shù)，通常表示為：,,,,,,的幾種形式： 積分型性能指標(biāo)：, 末值型性能指標(biāo)：, 綜合型性能指標(biāo)：,特殊情況，二次型性能指標(biāo)：,,最優(yōu)控制問題的提法 數(shù)學(xué)描述,,,如下：,1. 給定系統(tǒng)狀態(tài)方程：,,,,,或,,,,式中： 為n維狀態(tài)向量； ：m 維

21、狀態(tài)向量 ( ),,為n維狀態(tài)向量函數(shù)，且對 連續(xù)可微,,,,,,,,,,,,,,容許控制u(t)在m維的有界閉集U中取值，即：,2. 給定初始條件： 3 .明確終端條件：,x(t ) 滿足目標(biāo)集： S：,,,P × 1 維向量函數(shù),,4 給定性能指標(biāo)：,,,,,,問題提出：確定一個(gè)最優(yōu)控制 ，使系統(tǒng)從初始狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)

22、 ，并使性能指標(biāo)J[u] 為極大（小) 值 ， 此時(shí)， 稱為最優(yōu)控制作用，記為 。代入 所得 為最優(yōu)狀態(tài)軌線。J 為最優(yōu)性能指標(biāo)。,,,,例題分析：[數(shù)學(xué)描述] 登月火箭到達(dá)月球表面時(shí)的軟著陸問題： 火箭飛行的最后階段，進(jìn)入了月球的引力范圍,當(dāng)火箭 垂直

23、自由降落到距離月球表面為h的地方時(shí)，要求火箭 速度為0，并且燃料消耗為最小。,t=t,火箭,F(制動力),月球表面,,分析：在火箭速度降為0之前，,制動力,與燃料消耗成正比,,,其中：K：常數(shù)，m ：火箭（包括燃料的質(zhì)量）火箭從 開始減速，到 時(shí)速度為0，,,,,,,即

24、 x: 垂直距離,,,過程運(yùn)動方程為：,mg：月球引力,,,邊界條件： 時(shí)：,,,,時(shí)：,,自由， 自由,約束條件：燃料消耗率約束：,,,燃料消耗有限制，不能太多,,,,,,問題提出：,確定 ，即確定系統(tǒng)的制動力規(guī)律，使火箭 制動階段燃料消耗最少,,,最優(yōu)控制問題數(shù)學(xué)描述： 首先選一組狀態(tài)變量，將微分方程化為狀態(tài)方程，并 確定相

25、應(yīng)的初始狀態(tài)和末端狀態(tài).,由：,,,,令：,則 ：,,,,,u,目標(biāo)函數(shù)：,求取最優(yōu)控制 ，使得受控系統(tǒng)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到末端狀態(tài)，所消耗的燃料最小，即J最小。,,注意：1）J是u的函數(shù) 2） 有約束， 是容許控制 最優(yōu)控制問題的提法很多，實(shí)例很多，不再講述，不論什么樣的問題，其分析思路都是一樣的，給出問題的描述方法也是相同的。根據(jù)系統(tǒng)初態(tài)，末端的不同，最優(yōu)控制有以下特

26、例：,,,最優(yōu)控制的幾個(gè)特例：,1)終端狀態(tài)給定 固定端點(diǎn)的最 1. 給定 優(yōu)控制問題 2)終端狀態(tài)自由，可任意取值 自由端 點(diǎn)的最優(yōu)控制問題,,,,,1）終端時(shí)刻 已知

27、固定端點(diǎn)時(shí)間的 2.若初始時(shí)刻t 已知 最優(yōu)控制問題 2）終端時(shí)刻 未知 自由端點(diǎn)時(shí)間 的最優(yōu)控制問題,,,,,以后將分別進(jìn)行討論。,,,動態(tài)最優(yōu)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式：,開

28、環(huán),閉環(huán),兩種,,一、 開環(huán)：,控制器,,Xd u （t） x(t),,X,,特點(diǎn)：根據(jù)被控對象的特性（狀態(tài)方程或數(shù)學(xué)模型），以及控制器的初始狀態(tài)，設(shè)計(jì) ，存于計(jì)算機(jī)中。隨時(shí)間變化，由計(jì)算機(jī)發(fā)出控制信息，作用于被控過程從而使 按理想設(shè)計(jì)狀態(tài)變化 程序控制。,,不足或存在問題： 當(dāng)系統(tǒng)受到干擾，使被控過程

29、數(shù)學(xué)模型與理想模型發(fā)生偏離時(shí)，仍用 ，則x（t）不沿理想軌線變化。解決辦法：閉環(huán)控制,二 閉環(huán)：,,xd x *（t） x(t),特點(diǎn)：u*(t)是時(shí)變狀態(tài)x(t)函數(shù)，在閉環(huán)結(jié)構(gòu)中，若系統(tǒng)出現(xiàn)干擾，通過x(t)反映出來送入控制器， 為控制器輸出，從而可使系統(tǒng)修正