幾何晶體學(xué)2

1、2.3 幾何晶體學(xué),2.3.1 簡(jiǎn)單的歷史回顧固體材料的分類(lèi),固體材料可以按照其中原子排列的有序程度分為晶態(tài)和非晶態(tài)兩大類(lèi)。,一個(gè)明顯的彎曲標(biāo)志著隨著溫度的下降體系中發(fā)生了相變：在沸騰溫度處首先發(fā)生氣相到液相的轉(zhuǎn)變。,隨著溫度的繼續(xù)降低，液體的體積連續(xù)減小。,注意到曲線的斜率應(yīng)該對(duì)應(yīng)于體系的熱膨脹系數(shù)：固體的熱膨脹系數(shù)小于液體。,液體在緩慢降溫過(guò)程中形成晶體。在這一過(guò)程中，原子有足夠的時(shí)間發(fā)生重排，因此形成的固體中原子的排

2、列呈有序狀態(tài)。液體在急冷過(guò)程中形成非晶體。在這一過(guò)程中，原子沒(méi)有足夠的時(shí)間發(fā)生重排，因此形成的固體中原子的排列呈無(wú)序狀態(tài)。,晶體和非晶體的根本區(qū)別,晶態(tài)材料具有長(zhǎng)程有序的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，其組成原子或基元處于一定格式空間排列的狀態(tài)；非晶態(tài)材料則象液體那樣，只有在幾個(gè)原子間距量級(jí)的短程范圍內(nèi)具有原子有序的狀態(tài)。(短程有序),人類(lèi)最早使用的材料是天然的石塊。在采集石塊的同時(shí)也就發(fā)現(xiàn)了各種具有規(guī)則外形的石頭。人們把這些具有規(guī)則外形的石頭稱(chēng)為晶體

3、。在我國(guó)周口店的中國(guó)猿人遺址就發(fā)現(xiàn)了用水晶等晶體制成的工具。這是人類(lèi)認(rèn)識(shí)晶體的開(kāi)始。因此，晶體是一個(gè)非常古老的名詞。無(wú)色的六面體食鹽是最普通的同時(shí)也是最重要的一種晶體。鹽對(duì)于生命來(lái)說(shuō)是必不可少的，而在所有文化形態(tài)中，鹽又歷來(lái)具有某種象征的性質(zhì)。 “salary” =“買(mǎi)鹽的錢(qián)”。,晶面角守恒定律,晶體最初給人們的印象就是具有規(guī)則外形，而對(duì)晶體開(kāi)展的研究也是從這些規(guī)則外形開(kāi)始的。1669 年，一個(gè)叫做斯丹諾 (Nicol

4、as Steno) 的意大利人對(duì)水晶進(jìn)行了仔細(xì)的研究后發(fā)現(xiàn)：盡管不同的石英晶體，其晶面的大小、形狀、個(gè)數(shù)都可能會(huì)有所不同，但是相應(yīng)的晶面之間的夾角都是固定不變的。,,天然的水晶 (石英晶體) 可以有各種不同的外形 盡管不同的石英晶體，其晶面的大小、形狀、個(gè)數(shù)都可能會(huì)有所不同，但是相應(yīng)的晶面之間的夾角都是固定不變的 其中的 a 晶面和 b 晶面之間的夾角總是141?47?，b 晶面和 c 晶面之間的夾角總是120?00?，而 c 晶面

5、和 a 晶面之間的夾角總是113?08?。,此后，人們對(duì)各種不同的晶體進(jìn)行了大量的觀察，發(fā)現(xiàn)類(lèi)似的規(guī)律對(duì)于其他的晶體也是存在。這就誕生了結(jié)晶學(xué)上的第一條經(jīng)驗(yàn)定律 ?? 晶面角守恒定律,在同一溫度下，同一種物質(zhì)所形成的晶體，其相同晶面的夾角是一個(gè)常數(shù)。,晶面角守恒定律是晶體學(xué)中最重要的定律之一，它揭露了晶體外形的一種重要的規(guī)律性，從而指導(dǎo)人們?cè)鯓尤ザ康?、系統(tǒng)地研究各式各樣的晶體。,在 19 世紀(jì)初，在晶面角守恒定律的啟發(fā)下，晶體測(cè)角工作

6、曾盛極一時(shí)，大量天然礦物和人工晶體的精確觀測(cè)數(shù)據(jù)就是在這個(gè)階段獲得的。這些數(shù)據(jù)為進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)晶體外形的規(guī)律性 (特別是關(guān)于晶體對(duì)稱(chēng)性的規(guī)律) 創(chuàng)造了條件。 直至今天，測(cè)定晶面角仍然是從晶體外形來(lái)鑒別各種不同礦物的一種常用的可靠方法，為此人們還設(shè)計(jì)制作了一些晶體測(cè)角儀，專(zhuān)門(mén)用于這一目的。,晶面角守恒定律的發(fā)現(xiàn)，使得當(dāng)時(shí)的人們堅(jiān)信“晶體就是具有規(guī)則形狀的物體”。但是，這一定義顯然只是考慮了晶體的宏觀特征，還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有涉及到晶體的內(nèi)在本質(zhì)。于是

7、，一些科學(xué)家們便開(kāi)始思考這樣一個(gè)問(wèn)題：,是什么原因?qū)е铝司w的規(guī)則外形？,晶胞學(xué)說(shuō),1784年法國(guó)科學(xué)家阿羽 (Rene Just Haüy) 提出了著名的晶胞學(xué)說(shuō)：每種晶體都有一個(gè)形狀一定的最小的組成細(xì)胞 ?? 晶胞；大塊的晶體就是由許許多多個(gè)晶胞砌在一起而形成的。這是晶體學(xué)上第一次就晶體由外表到本質(zhì)進(jìn)行的猜想。,在此之前，斯丹諾的老師曾經(jīng)有機(jī)會(huì)提出相似的學(xué)說(shuō)，但是在即將接近這一學(xué)說(shuō)的時(shí)候他莫名其妙地止步了。(冰洲石),18

8、03年，英國(guó)科學(xué)家道爾頓 (John Dalton) 提出了元素?原子說(shuō)：純粹的物質(zhì)是由具有一定質(zhì)量的原子構(gòu)成的，化合物則是由不同原子按一定比例結(jié)合而成的。 受道爾頓的元素－原子學(xué)說(shuō)的啟發(fā)，1855年另一個(gè)法國(guó)人布拉維 (A. Bravais) 建立了晶體結(jié)構(gòu)的空間點(diǎn)陣學(xué)說(shuō)。,空間點(diǎn)陣學(xué)說(shuō),一個(gè)理想晶體是由全同的稱(chēng)作基元的結(jié)構(gòu)單元在空間作無(wú)限的重復(fù)排列而構(gòu)成的；基元可以是原子、離子、原子團(tuán)或者分子；晶體中所有的基元都是等同的，也就是

9、說(shuō)他們的組成、位形和取向都是相同的。因此，晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以抽象為在空間作周期性的無(wú)限分布的一些相同的幾何點(diǎn)，這些幾何點(diǎn)代表了基元的某個(gè)相同位置，而這些幾何點(diǎn)的集合就稱(chēng)作空間點(diǎn)陣，簡(jiǎn)稱(chēng)點(diǎn)陣。,,,一個(gè)含有兩個(gè)原子 (分別用一大一小兩個(gè)空心圓點(diǎn)表示) 的基元,這個(gè)基元在二維空間作有規(guī)律的重復(fù)排列便得到了一個(gè)二維晶體結(jié)構(gòu),黑點(diǎn)為抽象出來(lái)的幾何點(diǎn)，這些幾何點(diǎn)就構(gòu)成了一個(gè)二維空間點(diǎn)陣。,在這個(gè)抽象過(guò)程中，幾何點(diǎn)位置的選取可以是任意的，只要是在基

10、元所包括的范圍之內(nèi)就可以。,顯然在這一抽象過(guò)程中，構(gòu)成基元的原子的種類(lèi)和大小并不影響到最終點(diǎn)陣的形狀。對(duì)點(diǎn)陣最終形狀產(chǎn)生影響的僅僅是基元在空間的排列規(guī)律。,NaCl 晶體的結(jié)構(gòu),,NaCl 晶體結(jié)構(gòu)中等同點(diǎn)的分布及其相應(yīng)導(dǎo)出的二維點(diǎn)陣,幾個(gè)基本概念,基元 在 NaCl 中，基元為 NaCl 分子 等同原子 在 NaCl 中，所有的 Na 離子均為等同原子，所有的 Cl 離子也為等同原子 等同點(diǎn) 所有等同原子所處的位置抽象為等

11、同點(diǎn)空間點(diǎn)陣 所有的等同點(diǎn)在三維空間的排列就構(gòu)成了空間點(diǎn)陣,空間點(diǎn)陣學(xué)說(shuō)提出之后的相當(dāng)一段長(zhǎng)時(shí)間里一直被認(rèn)為是一種假說(shuō)，它的抽象理論當(dāng)時(shí)并沒(méi)有引起物理家和化學(xué)家們的注意，還有不少人仍然一直固執(zhí)地認(rèn)為在晶體中原子、分子是無(wú)規(guī)則地分布的。這一狀況直到 20 世紀(jì)初才得到根本的改變，而導(dǎo)致這一改變的直接原因則是一項(xiàng)新的實(shí)驗(yàn)技術(shù)的誕生。這就是,X 射線衍射分析技術(shù),空間點(diǎn)陣學(xué)說(shuō)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 ?? 勞厄的晶體 X 射線衍射實(shí)驗(yàn),勞厄 (M

12、ax V. Laue, 1879 ~ 1960)，德國(guó)物理學(xué)家，1912 年發(fā)現(xiàn)了X 射線通過(guò)晶體時(shí)產(chǎn)生的衍射現(xiàn)象，從而導(dǎo)致了X射線衍射技術(shù)的誕生，它成為研究晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的重要技術(shù)手段。勞厄因?yàn)檫@項(xiàng)成果而于 1914 年獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。,勞厄衍射照片,現(xiàn)代 X 射線衍射分析的理論基礎(chǔ)是英國(guó)物理學(xué)家布拉格父子奠定的。,布拉格父子于 1913 年借助 X 射線成功地測(cè)出金剛石的晶體結(jié)構(gòu)，并提出了“布拉格公式”，為最終建立現(xiàn)代晶體學(xué)打下了

13、基礎(chǔ)，于 1915 年獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。當(dāng)時(shí)，小布拉格年僅 25 歲，是至今為止最年輕的諾貝爾獎(jiǎng)獲得者。而老布拉格則已經(jīng) 53 歲，被稱(chēng)為是大器晚成的科學(xué)家。,布拉格定律,,一束波長(zhǎng)為 ? 的平行 X 射線與晶面成 ? 角入射,這是一塊單晶體，兩個(gè)相鄰晶面之間的距離為 d,當(dāng)入射的 X 射線波長(zhǎng) ?、入射角? 和晶面間距 d 之間滿足如下關(guān)系時(shí)，將產(chǎn)生衍射,這就是著名的布拉格定律。實(shí)驗(yàn)表明，布拉格角的限定是十分嚴(yán)格的，通常只要入

14、射角與布拉格角相差十分之幾度，反射的光束就會(huì)完全相消。,,在勞厄和布拉格父子工作的基礎(chǔ)上，人們發(fā)展出了一系列借助于X射線衍射分析晶體結(jié)構(gòu)的技術(shù)，這些技術(shù)已經(jīng)成為了材料科學(xué)研究中最重要也是最有用的分析手段。,,目前常用的X射線衍射儀的工作原理示意圖,波長(zhǎng)為 ? 的 X 射線從 T處以 ? 角入射至試樣 S處,如果試樣中某一原子面正好滿足布拉格方程，便會(huì)在C處得到加強(qiáng)的衍射束,衍射儀可以連續(xù)地改變?cè)嚇优c入射X射線的相對(duì)角度?，使得更多的原子

15、面有機(jī)會(huì)滿足布拉格方程所限定的條件而得到衍射峰,SiO2晶體和SiO2玻璃的 X 射線衍射譜圖,X 射線衍射分析技術(shù)可以得到以下一些信息：,相組成 晶格參數(shù) 殘余應(yīng)力 ……,關(guān)于X-射線衍射分析技術(shù)的系統(tǒng)知識(shí)可以參閱,王英華主編，“X 光衍射技術(shù)基礎(chǔ)”，原子能出版社,隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們也找到了另外一些研究晶體微觀結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)方法，包括電子顯微鏡、電子衍射、中子衍射等等?，F(xiàn)在最先進(jìn)的電子顯微鏡已經(jīng)能夠直接分辯出某些晶體中的原子。

16、,,HRTEM image of an area of TiC particle adjacent to TiC/Al2O3 interface in TiC/Al2O3 composite,幾種顯微分析技術(shù)的一般分辨率,掃描探針顯微鏡：0.02 nm 透射電鏡：0.2 nm 掃描電鏡：2 nm 光學(xué)顯微鏡：200 nm 人眼：0.2 mm,勞厄和布拉格父子的工作使空間點(diǎn)陣學(xué)說(shuō)從猜想上升為有堅(jiān)實(shí)實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)的正確理論，從而奠定了現(xiàn)代

17、結(jié)晶學(xué)的基礎(chǔ)。自此，人們很自然地就把晶體定義為,構(gòu)成物體的微粒 (分子、原子或者離子) 在三維空間做有規(guī)律的周期性重復(fù)排列而得到的物體,顯然，晶體的有規(guī)則的幾何外形其實(shí)就是構(gòu)成晶體的微粒的有規(guī)則排列的外部反映。,晶體的宏觀特征,規(guī)則的幾何外形 晶面角恒定 有固定的熔點(diǎn) 物理性質(zhì)的各向異性,2.3.2 球體堆積原理,一個(gè)討論晶體結(jié)構(gòu)之前必須進(jìn)行的有趣同時(shí)也有點(diǎn)傷腦子的游戲,等大球體的最緊密堆積及其空隙,第一層：每個(gè)球與周?chē)?6 個(gè)球

18、相鄰接觸，每 3 個(gè)球圍成 1 個(gè)空隙。其中一半是尖角向上的空隙，另一半是尖角向下的空隙。,第二層：每個(gè)球均與第一層中的 3 個(gè)球相鄰接觸，且落在同一類(lèi)三角形空隙的位置上。此時(shí)兩層間存在兩類(lèi)不同的空隙。,等大球體的最緊密堆積的空隙,第一種：連續(xù)穿透兩層的空隙,第二種：未連續(xù)穿透兩層的空隙,第二種：未連續(xù)穿透兩層的空隙,現(xiàn)在考慮第三層球的排列方式第一種方法是將第三層落在未穿透兩層的空隙位置上,未穿透兩層的空隙有兩類(lèi)，,,,但只有處于第二

19、層的那類(lèi)空隙的位置可以保證每一個(gè)第三層的球與第二層的 3 個(gè)球相切。,第三層的擺放位置,將第三層球堆積在這類(lèi)空隙上,可以看出，第三層與第一層完全重復(fù)。如此繼續(xù)堆積就得到ABABAB……順序堆跺的一個(gè)六方最緊密堆積結(jié)構(gòu)。,六方密堆結(jié)構(gòu)及相應(yīng)的六方格子,六方最緊密堆積結(jié)構(gòu)的空間利用率,在六面體的上表面，短對(duì)角線與相鄰兩邊構(gòu)成了一個(gè)等邊三角形，邊長(zhǎng)為a。這個(gè)等邊三角形與體內(nèi)球相切，4個(gè)球的中心連成了一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正四面體，這個(gè)正四面體的高為：

20、(2/3)1/2a。平行六面體的高度即為2(2/3)1/2a。,如果球的半徑為 r，則 a = 2r。平行六面體的體積為,,兩個(gè)圓球的體積為,,故空間利用率為VB/V = 74%。這是理論上圓球緊密堆積所能達(dá)到的最大堆積密度。,第三層球排列的第二種方式 將第三層落在連續(xù)穿透兩層的空隙位置上,,,可以看出，第三層與第一層第二層都不同，在擺放第四層時(shí)才與第一層重復(fù)。如此堆積就得到ABCABCABC……順序堆跺的一個(gè)立方最緊密堆積結(jié)構(gòu)。,

21、對(duì)立方最緊密堆積結(jié)構(gòu)可以抽象出一個(gè)面心立方格子。,,,,立方最緊密堆積的最緊密排列層是 (111) 晶面,可以證明：立方最緊密堆積結(jié)構(gòu)的空間利用率也是 74%。(證明過(guò)程留作課外作業(yè)自己完成)在各類(lèi)晶體結(jié)構(gòu)中，六方最緊密堆積和立方最緊密堆積是空間利用率最高的兩種結(jié)構(gòu)。,四面體空隙和八面體空隙,處于四個(gè)球包圍之中的空隙：四個(gè)球中心連線剛好構(gòu)成一個(gè)四面體的形狀。,處于六個(gè)球包圍之中的空隙：六個(gè)球中心連線剛好構(gòu)成一個(gè)八面體的形狀。,八

22、面體空隙的體積大于四面體空隙的體積,,,考慮第二層上的這個(gè)圓球,該球下方三個(gè)以 C 標(biāo)注的位置為八面體空隙,該球下方三個(gè)以 A 標(biāo)注的位置為四面體空隙,該球正下方還有 1 個(gè)四面體空隙,考慮到第三層與第一層的相似性，可以看出：這個(gè)球的周?chē)鷳?yīng)該有 6 個(gè)八面體空隙和 8 個(gè)四面體空隙。,若有 n 個(gè)等大球體作最緊密堆積，就必定有 n 個(gè)八面體空隙和 2n 個(gè)四面體空隙。,每個(gè)球的周?chē)?6 個(gè)八面體空隙和 8 個(gè)四面體空隙。每個(gè)八面體空

23、隙由 6 個(gè)球圍成，每個(gè)四面體空隙由 4 個(gè)球圍成,等大球體的其他堆積方式,,簡(jiǎn)單立方堆積，空間利用率為 52%。,等大球體的其他堆積方式,,體心立方堆積，空間利用率為 68%。,,游戲還沒(méi)有結(jié)束！,我們現(xiàn)在再來(lái)準(zhǔn)備一些半徑小一些的圓球，和前面那些半徑較大的圓球混在一起，然后看看這些大小不同的球該如何堆積才能獲得較大的空間利用率。,先考慮大球按最緊密方式堆積 (六方或者立方) 時(shí)的情況：這時(shí)大球構(gòu)成的結(jié)構(gòu)中存在有八面體和四面體兩種空隙；

24、將小球填在這些空隙中顯然就可以提高空間利用率。,當(dāng)然，從實(shí)際晶體結(jié)構(gòu)的角度來(lái)看，這時(shí)還需要考慮兩個(gè)具體的問(wèn)題小球和大球應(yīng)該直接相切無(wú)論是四面體空隙還是八面體空隙，小球填入后要保證結(jié)構(gòu)仍具有一定的穩(wěn)定性,小球填入四面體空隙,,四個(gè)等大的圓球 (半徑為 R) 構(gòu)成一個(gè)正四面體，在這個(gè)四面體中填入一個(gè)小球。如果小球恰好與 4 個(gè)大球都相切，且 4 個(gè)大球本身仍保持相切狀態(tài)，試確定小球的半徑 r。,計(jì)算過(guò)程并不復(fù)雜，結(jié)果應(yīng)該是：r = 0

25、.225 R,計(jì)算一下,大球半徑與小球半徑之和: AB = R + r,O點(diǎn)為正三角形重心，BO為正三角形高度的2/3: BO = (2?3)R/3,A點(diǎn)為正四面體重心，AO為正四面體高度的1/4: AO = R/(?6),r = 0.225 R 稱(chēng)為小球填入四面體空隙時(shí)的臨界半徑。如果 r 0.225 R，小球的填入將導(dǎo)致大球脫離相切狀態(tài)。隨著小球半徑的逐漸增大，四面體空隙的體積也逐漸增大，

26、從而使得整個(gè)堆積體的體積增大，結(jié)果無(wú)疑就是堆積體空間利用率的降低。因此，如果要保證堆積體具有較大的空間利用率，填入四面體空隙的小球的半徑不可能無(wú)限制地增大。如果小球半徑較大的話，可以將其填入八面體空隙以提高堆積體的空間利用率。填入八面體空隙的小球的臨界半徑為 r = 0.414 R。,小球填入其他類(lèi)型的空隙,,三角形空隙：r = 0.155 R,,小球填入其他類(lèi)型的空隙,,八面體空隙：r = 0.414 R,,,小球填入其他類(lèi)型的空隙

27、,,六面體空隙：r = 0.732 R,,,,,需要掌握的一些基本內(nèi)容,晶體的宏觀特征球體緊密堆積原理等大球體最緊密堆積的兩種方式及其空間利用率計(jì)算；等大球體的其他堆積方式及其空間利用率計(jì)算；不等大球體堆積中小球的臨界半徑計(jì)算,2.3.3 空間點(diǎn)陣,晶體內(nèi)部原子排列很類(lèi)似于球體的堆積。結(jié)晶學(xué)中往往把構(gòu)成晶體的微粒 (原子或者離子) 視為具有一定半徑的球體，這些球體在三維空間按一定規(guī)律無(wú)限排列就構(gòu)成了晶體。實(shí)際晶體微粒的堆積比

28、球體堆積要稍微復(fù)雜一些，前者除了必須考慮幾何因素之外，微粒之間的相互作用也是影響原子或者離子排列狀態(tài)的關(guān)鍵因素。,把微粒間相互作用的影響暫時(shí)撇開(kāi)而從純粹的幾何角度來(lái)討論晶體結(jié)構(gòu)的描述問(wèn)題，就可以把晶體中微粒的排列看成是等大球體或者不等大球體的堆積。,1) 幾個(gè)基本概念,等同微粒、周期,從球體堆積模型可以看出，晶體中微粒排列的一個(gè)基本特征就是原子的排列是有規(guī)律的：不論從哪一個(gè)方向看上去，總是相隔一定的距離就會(huì)出現(xiàn)相同的微粒。這里所說(shuō)的“

29、相同”，不僅僅是微粒本身的相同 (同類(lèi)原子或者離子)，還包括了微粒所處環(huán)境的相同。,晶體結(jié)構(gòu)中種類(lèi)和所處的周?chē)h(huán)境完全相同的微粒稱(chēng)為等同微粒，而兩個(gè)等同微粒之間的距離稱(chēng)為周期。顯然，沿不同的方向周期可能是不同的。,空間點(diǎn)陣、結(jié)點(diǎn),晶體中微粒排列的周期性規(guī)律可以用一些在空間有規(guī)律分布的幾何點(diǎn)來(lái)表示。我們可以把晶體中所有的等同微粒都分別抽象為一個(gè)幾何點(diǎn)，這樣微粒在空間的排列就相當(dāng)于這些幾何點(diǎn)在空間的有規(guī)律分布。這樣的幾何點(diǎn)的集合稱(chēng)為空間點(diǎn)

30、陣，空間點(diǎn)陣中的幾何點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)陣的結(jié)點(diǎn)，而沿點(diǎn)陣的任何一個(gè)方向上相鄰兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的距離就是晶體沿這一方向的周期。,關(guān)于等同,點(diǎn)陣只是表示等同微粒在空間的分布規(guī)律的一種幾何抽象。因?yàn)榈韧⒘２粌H要求微粒的種類(lèi)相同，而且要求微粒所處的周?chē)h(huán)境也相同，因此即使在只由一類(lèi)微粒構(gòu)成的晶體 (單質(zhì)晶體) 中，也并不一定是所有的微粒都是等同微粒；而對(duì)于化合物晶體，不同的微粒因?yàn)榉N類(lèi)不同就顯然不是等同微粒。,,,上節(jié)課的一個(gè)例子：一個(gè)由兩種不同的原子構(gòu)成

31、的結(jié)構(gòu)基元以及由這個(gè)基元組成的二維點(diǎn)陣,在從這個(gè)結(jié)構(gòu)抽象出點(diǎn)陣的過(guò)程中，把由這兩種原子組成的一個(gè)基元抽象為一個(gè)點(diǎn),如果我們把這個(gè)空間點(diǎn)陣還原為晶體結(jié)構(gòu)的話，點(diǎn)陣中的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都將轉(zhuǎn)換為由兩個(gè)原子組成的一個(gè)基元。,,,再來(lái)看看六方最緊密堆積的情況,首先，這一結(jié)構(gòu)中所有的圓球都是一樣的，也就是說(shuō)微粒的種類(lèi)是一樣的。,頂點(diǎn)處的八個(gè)圓球是等同微粒：種類(lèi)相同，所處環(huán)境也相同。,頂點(diǎn)處的圓球和六面體內(nèi)的圓球是不等同微粒：種類(lèi)雖然相同，但所處環(huán)境不同

32、。,因此這個(gè)結(jié)構(gòu)中的基元是由兩個(gè)同種類(lèi)的圓球構(gòu)成的。,因此，對(duì)空間點(diǎn)陣的描述是：將構(gòu)成晶體的最小結(jié)構(gòu)單元 ?? 基元抽象為幾何點(diǎn)，這些幾何點(diǎn)的集合就稱(chēng)為空間點(diǎn)陣。晶體的最小結(jié)構(gòu)單元基元中包括了晶體中所有種類(lèi)的不等同微粒，而且構(gòu)成基元的微粒中任意兩個(gè)都互為不等同微粒。,從等大球體堆積構(gòu)型中抽象出空間點(diǎn)陣(一) 六方最緊密堆積,這個(gè)點(diǎn)陣相當(dāng)于一個(gè)底面頂角為60?的平行六面體在三維空間的無(wú)限堆垛,比較一下晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣,把所有的微粒都

33、畫(huà)出來(lái)的圖形表示的是晶體的結(jié)構(gòu),只給出等同微粒的圖形表示的是空間點(diǎn)陣,從等大球體堆積構(gòu)型中抽象出空間點(diǎn)陣(二) 立方最緊密堆積,ABCABC堆積就構(gòu)成了一個(gè)立方最緊密堆積結(jié)構(gòu),,,,,換一個(gè)角度看看立方最緊密堆積可以看出一些特征,,立方最緊密堆積結(jié)構(gòu)可以抽象出一個(gè)空間點(diǎn)陣，這個(gè)點(diǎn)陣相當(dāng)于下面的平行六面體在三維空間無(wú)限堆垛而形成,點(diǎn)陣中的結(jié)點(diǎn)所代表的基元只由一個(gè)圓球構(gòu)成。,這個(gè)圖形所中頂點(diǎn)與面心是等同點(diǎn)嗎？,從等大球體堆積構(gòu)型中抽象出

34、空間點(diǎn)陣(三) 簡(jiǎn)單立方堆積,,,簡(jiǎn)單立方堆積就是簡(jiǎn)單,這么一個(gè)圖形一層層地堆起來(lái)就是相應(yīng)的空間點(diǎn)陣,從等大球體堆積構(gòu)型中抽象出空間點(diǎn)陣(四) 體心立方堆積,,,,體心位置和頂點(diǎn)位置是等同位置,小結(jié)一下,六方最緊密堆積的晶體結(jié)構(gòu)圖形與空間點(diǎn)陣圖形是不一樣的，而三種立方堆積的晶體結(jié)構(gòu)圖形與空間點(diǎn)陣圖形則是一樣的六方最緊密堆積結(jié)構(gòu)的基元由兩個(gè)圓球構(gòu)成，是導(dǎo)致晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣圖形不一樣的原因三種立方堆積中的基元均由一個(gè)圓球構(gòu)

35、成，因此晶體結(jié)構(gòu)圖形與空間點(diǎn)陣圖形是一樣的,盡管前面一直用一個(gè)平行六面體來(lái)描述空間點(diǎn)陣，但是必須記住的是，空間點(diǎn)陣是一個(gè)無(wú)限大的三維空間圖形。,三維空間點(diǎn)陣是由一些按照一定規(guī)律排列的幾何點(diǎn) (結(jié)點(diǎn)) 所構(gòu)成的一個(gè)陣列。,在空間點(diǎn)陣中，分布在同一直線上的結(jié)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)行列。很顯然，任意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)就可以決定一個(gè)行列。行列中兩個(gè)相鄰的結(jié)點(diǎn)間的距離稱(chēng)為結(jié)點(diǎn)間距。連接分布在同一平面內(nèi)的結(jié)點(diǎn)即構(gòu)成一個(gè)面網(wǎng)，而連接分布在三維空間內(nèi)的結(jié)點(diǎn)就構(gòu)成了空間點(diǎn)陣。

36、,空間點(diǎn)陣也可以看成是由一個(gè)只在八個(gè)頂點(diǎn)上含有結(jié)點(diǎn)的平行六面體單元沿三維方向重復(fù)堆積而構(gòu)成的。這樣的平行六面體單元稱(chēng)為原始格子。注意到在空間點(diǎn)陣中，每個(gè)結(jié)點(diǎn)都由 8 個(gè)原始格子所共有，因此，每個(gè)原始格子中只含有一個(gè)結(jié)點(diǎn)。顯然，對(duì)于一個(gè)給定的空間點(diǎn)陣，原始格子的劃分方法有很多種，取決于我們所選擇的平行六面體三條不共面的棱邊 (行列) 的取向。,,原始格子的劃分方式是多種多樣的。,,,,,,空間點(diǎn)陣是一個(gè)三維無(wú)限大的圖形，直接用空間點(diǎn)陣來(lái)描

37、述晶體中原子的堆積方式顯然是很不方便的，而構(gòu)成空間點(diǎn)陣的基本單元體 ?? 原始格子又因邊棱取向的隨意性而不可能完整地反映出空間點(diǎn)陣的幾何特征。因此，法國(guó)科學(xué)家布拉維于1848 年提出了一套簡(jiǎn)便而準(zhǔn)確描述空間點(diǎn)陣幾何特征的方法。,2) 布拉維格子,布拉維認(rèn)為，對(duì)于任何一種晶體的結(jié)構(gòu)抽象出來(lái)的空間點(diǎn)陣，都可以看成是由一個(gè)能夠全面準(zhǔn)確體現(xiàn)該點(diǎn)陣幾何特征的平行六面體沿三維方向重復(fù)堆積而構(gòu)成；這個(gè)能夠全面準(zhǔn)確體現(xiàn)空間點(diǎn)陣幾何特征的平行六面體的選

38、取必須遵循 4 個(gè)基本原則：,平行六面體的選取原則,(1) 所選取的平行六面體的對(duì)稱(chēng)性應(yīng)該符合整個(gè)空間點(diǎn)陣的對(duì)稱(chēng)性；(2) 在不違反對(duì)稱(chēng)的條件下，應(yīng)選擇棱與棱之間的直角關(guān)系最多的平行六面體；(3) 在遵循上述兩條的前提下，所選的平行六面體體積應(yīng)該最??；(4) 在對(duì)稱(chēng)性規(guī)定棱間交角不為直角時(shí)，在遵循前三條的前體下，應(yīng)選擇結(jié)點(diǎn)間距小的行列作為平行六面體的棱，且棱間交角接近于直角。,關(guān)于對(duì)稱(chēng),所謂對(duì)稱(chēng)性指的

39、是物體在經(jīng)過(guò)一定的操作之后其空間構(gòu)型能夠完全復(fù)原的性質(zhì)。這種“一定的操作”稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)操作。在進(jìn)行對(duì)稱(chēng)操作時(shí)，如果物體中至少有一個(gè)點(diǎn)保持不動(dòng)，那么相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)操作就稱(chēng)為點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作，也叫宏觀對(duì)稱(chēng)操作。對(duì)稱(chēng)操作一定與某一個(gè)幾何圖形相聯(lián)系。換句話說(shuō)，進(jìn)行對(duì)稱(chēng)操作都必須憑借于一定的幾何要素，這些幾何要素可以是點(diǎn)、也可以是直線或者平面。進(jìn)行對(duì)稱(chēng)操作所憑借的幾何要素稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)要素。,現(xiàn)實(shí)生活中的幾個(gè)對(duì)稱(chēng)的例子,吊扇中的葉片以轉(zhuǎn)子中心線為對(duì)稱(chēng)軸，三個(gè)葉片

40、之間可以圍繞這個(gè)對(duì)稱(chēng)軸每旋轉(zhuǎn)120?重復(fù)一次。對(duì)稱(chēng)操作：繞對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)一定的角度對(duì)稱(chēng)要素：旋轉(zhuǎn)軸,對(duì)稱(chēng)性指的是物體在經(jīng)過(guò)一定的操作之后其空間構(gòu)型能夠完全復(fù)原的性質(zhì),對(duì)稱(chēng)變換：鏡子的反映 (注意這是一個(gè)虛擬操作)對(duì)稱(chēng)要素：鏡子構(gòu)成的對(duì)稱(chēng)面,現(xiàn)實(shí)生活中的幾個(gè)對(duì)稱(chēng)的例子,在晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)中 (以及在相應(yīng)抽象出來(lái)的空間點(diǎn)陣中) 可能存在的對(duì)稱(chēng)要素以及相應(yīng)可以進(jìn)行的宏觀對(duì)稱(chēng)操作主要有以下幾類(lèi)：,對(duì)稱(chēng)中心 對(duì)稱(chēng)面 旋轉(zhuǎn)軸 倒轉(zhuǎn)軸 (有時(shí)也

41、稱(chēng)為象轉(zhuǎn)軸),對(duì)稱(chēng)中心是一個(gè)假想的幾何點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)操作是對(duì)于這個(gè)點(diǎn)的倒反 (反演)。 通過(guò)對(duì)稱(chēng)中心作任意直線，在此直線上位于對(duì)稱(chēng)中心兩側(cè)等距離的兩點(diǎn)是性質(zhì)完全相同的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。 在晶體中，如果存在有對(duì)稱(chēng)中心，則對(duì)稱(chēng)中心肯定位于晶體的幾何中心。在結(jié)晶學(xué)中，對(duì)稱(chēng)中心一般用符號(hào) “i” 表示。,對(duì)稱(chēng)面是一個(gè)假想的平面，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)操作為對(duì)此平面的反映。對(duì)稱(chēng)面就像一面鏡子，把物體的兩個(gè)相同的部分以互成鏡像反映的關(guān)系聯(lián)系起來(lái)。 垂直于對(duì)稱(chēng)面

42、作任意直線，位于直線兩側(cè)等距離的兩點(diǎn)是性質(zhì)完全相同的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 晶體中如果存在有對(duì)稱(chēng)面，則必定通過(guò)晶體的幾何中心并將晶體分為互成鏡像反映的兩個(gè)相同部分在結(jié)晶學(xué)中，對(duì)稱(chēng)面一般用符號(hào)“m” 表示。,旋轉(zhuǎn)軸是一條假想的直線，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)操作是繞此直線的旋轉(zhuǎn)。物體在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中重復(fù)的次數(shù)稱(chēng)為該旋轉(zhuǎn)軸的軸次。在結(jié)晶學(xué)中，一般直接采用軸次表示旋轉(zhuǎn)軸，如 “1” 即代表 1 次旋轉(zhuǎn)軸，“3” 即代表 3 次旋轉(zhuǎn)軸等。 1 次旋轉(zhuǎn)軸相當(dāng)于沒(méi)有對(duì)

43、稱(chēng)性,吊扇葉片每旋轉(zhuǎn)一周就重復(fù) 3 次，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)軸為三次對(duì)稱(chēng)軸,在旋轉(zhuǎn)操作中，使物體復(fù)原所需的最小旋轉(zhuǎn)角 ? 稱(chēng)為基轉(zhuǎn)角。軸次 n 可以寫(xiě)成,,在晶體的宏觀對(duì)稱(chēng)中，n 的數(shù)值不能是任意的。晶體對(duì)稱(chēng)定律證明：在晶體中只可能出現(xiàn)一次、二次、三次、四次和六次旋轉(zhuǎn)軸。不可能出現(xiàn)五次以及高于六次的旋轉(zhuǎn)軸。,晶體中如果存在旋轉(zhuǎn)軸，則其必定通過(guò)晶體的幾何中心。,,倒轉(zhuǎn)軸是一種復(fù)合對(duì)稱(chēng)要素，由一根假想的直線和在此直線上的一個(gè)定點(diǎn)組成。相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)操作是

44、繞此直線旋轉(zhuǎn)一定角度以及對(duì)此定點(diǎn)的倒反。根據(jù)晶體對(duì)稱(chēng)軸定律，倒轉(zhuǎn)軸也只有 1 次、2 次、3 次、4 次和 6 次等 5 種,,倒反軸的表示方法,倒轉(zhuǎn)軸是一種復(fù)合對(duì)稱(chēng)要素。各類(lèi)倒轉(zhuǎn)軸中，只有 4 次倒轉(zhuǎn)軸是一個(gè)獨(dú)立的基本對(duì)稱(chēng)操作，其他 4 種倒轉(zhuǎn)軸都可以表示為對(duì)稱(chēng)中心、對(duì)稱(chēng)面、旋轉(zhuǎn)軸的組合。,相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)360?后再對(duì)中心反演而圖形不變。由于旋轉(zhuǎn)360?將使圖形回復(fù)到原始位置，因此，1 次倒轉(zhuǎn)軸的效果與單純的反演操作完全相同1 次倒

45、轉(zhuǎn)軸也就是對(duì)稱(chēng)中心。,1 次倒轉(zhuǎn)軸,,相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)180?后再對(duì)中心反演而圖形不變。,2 次倒轉(zhuǎn)軸,2 次倒轉(zhuǎn)軸就是對(duì)稱(chēng)面,相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)120?后再對(duì)中心反演而圖形不變。先旋轉(zhuǎn)120?圖形能夠復(fù)原，因此該圖形具有 1 條 3 次旋轉(zhuǎn)軸該圖形顯然具有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心,3 次倒轉(zhuǎn)軸,因此 3 次倒轉(zhuǎn)軸相當(dāng)于 1 條 3 次旋轉(zhuǎn)軸加上一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心,,相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)90?后再對(duì)中心反演而圖形不變。這是一個(gè)獨(dú)立的對(duì)稱(chēng)操作。它既沒(méi)有 4 次旋轉(zhuǎn)軸也沒(méi)有對(duì)

46、稱(chēng)中心，不能分解成其他基本對(duì)稱(chēng)要素的組合。,4 次倒轉(zhuǎn)軸,,,注意這里的 2、6、4、8 這四個(gè)點(diǎn)是不存在的，也是過(guò)渡點(diǎn)。,相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)60?后再對(duì)中心反演而圖形不變。先旋轉(zhuǎn)120?圖形能夠復(fù)原，因此該圖形具有 1 條 3 次旋轉(zhuǎn)軸該圖形顯然具有一個(gè)對(duì)稱(chēng)面,6 次倒轉(zhuǎn)軸,因此 6 次倒轉(zhuǎn)軸相當(dāng)于 1 條 3 次旋轉(zhuǎn)軸加上一個(gè)對(duì)稱(chēng)面,,,晶體中只存在有 8 種獨(dú)立的對(duì)稱(chēng)要素， 分別為。,,任何宏觀晶體所具有的對(duì)稱(chēng)性都是這 8 種基本對(duì)稱(chēng)

47、要素的組合。,晶體的宏觀對(duì)稱(chēng)性,宏觀晶體的幾何外形是多種多樣的，不同晶體中存在的對(duì)稱(chēng)要素也不同。晶體中有幾個(gè)對(duì)稱(chēng)要素共存時(shí)，它們?cè)诳臻g的分布也應(yīng)該符合整體的對(duì)稱(chēng)關(guān)系。因此，對(duì)稱(chēng)要素的組合具有一定的規(guī)律。晶體中對(duì)稱(chēng)要素的集合稱(chēng)為晶體的對(duì)稱(chēng)型。已經(jīng)證明：在一切宏觀晶體中，總共可能出現(xiàn)的對(duì)稱(chēng)型只有 32 種。,在晶體研究中經(jīng)常遇到兩個(gè)名詞： 點(diǎn)群：在宏觀晶體中存在的所有對(duì)稱(chēng)要素都必定通過(guò)晶體的中心，因此不論如何進(jìn)行對(duì)稱(chēng)操作，晶體中至少

48、有一個(gè)點(diǎn)是不變的，因此對(duì)稱(chēng)型也稱(chēng)為點(diǎn)群。 空間群：晶體結(jié)構(gòu)中還有一些微觀的對(duì)稱(chēng)要素，微觀對(duì)稱(chēng)要素的核心是平移軸，微觀對(duì)稱(chēng)要素的集合構(gòu)成平移群。晶體結(jié)構(gòu)中存在的一切對(duì)稱(chēng)要素 (包括平移軸在內(nèi)) 的集合稱(chēng)為空間群。晶體中可能存在的空間群只有 230 種,關(guān)于晶體宏觀對(duì)稱(chēng)性的詳細(xì)討論不屬于本課程的范圍，有興趣的可以閱讀已經(jīng)出版的大量的結(jié)晶學(xué)方面的專(zhuān)門(mén)著作?，F(xiàn)在我們還是回過(guò)頭來(lái)看看布拉維格子。,首先來(lái)建立一個(gè)描述空間點(diǎn)陣的坐標(biāo)系,前面提

49、到的布拉維的四條基本原則的目的在于在空間點(diǎn)陣中找出一個(gè)能夠全面準(zhǔn)確體現(xiàn)該點(diǎn)陣幾何特征的平行六面體。確定了這個(gè)平行六面體，也就相當(dāng)于確定了空間點(diǎn)陣的坐標(biāo)系。,單位平行六面體的三根棱是三個(gè)坐標(biāo)軸的方向棱之間的交角是坐標(biāo)軸之間的交角棱長(zhǎng)就是坐標(biāo)系統(tǒng)的軸單位。,重溫一下平行六面體的選取原則,(1) 所選取的平行六面體的對(duì)稱(chēng)性應(yīng)該符合整個(gè)空間點(diǎn)陣的對(duì)稱(chēng)性；(2) 在不違反對(duì)稱(chēng)的條件下，應(yīng)選擇棱與棱之間的直角關(guān)系最多的

50、平行六面體；(3) 在遵循上述兩條的前提下，所選的平行六面體體積應(yīng)該最小；(4) 在對(duì)稱(chēng)性規(guī)定棱間交角不為直角時(shí)，在遵循前三條的前體下，應(yīng)選擇結(jié)點(diǎn)間距小的行列作為平行六面體的棱，且棱間交角接近于直角。,這個(gè)平面點(diǎn)陣具有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，4 個(gè)對(duì)稱(chēng)面和一條 4 次旋轉(zhuǎn)軸。,,,,,,這個(gè)平面點(diǎn)陣具有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，2 個(gè)對(duì)稱(chēng)面和一條 2 次旋轉(zhuǎn)軸。,,,,,,,14 種布拉維格子,布拉維通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，盡管存在有各種各樣的晶體，

51、但是按照四條基本原則，從各種晶體中抽象出來(lái)的空間點(diǎn)陣只有 14 種形式，稱(chēng)為 14 種布拉維格子，分別可以用一個(gè)根據(jù)上述四條基本原則劃分出來(lái)的平行六面體來(lái)表示。,7 大晶系,根據(jù)相應(yīng)的平行六面體的幾個(gè)特征，14 種布拉維格子可以分為 7 類(lèi)，稱(chēng)為 7 大晶系。這 7 大晶系按對(duì)稱(chēng)程度增加的次序分別為：,三斜晶系、單斜晶系、正交晶系、三方晶系、四方晶系、六方晶系、立方晶系。,7 大晶系的幾何特征,(1)   

52、立方晶系：a = b = c; ? = ? = ? = 90?,(3)   四方晶系：a = b ? c; ? = ? = ? = 90?,(5)   正交晶系：a ? b ? c; ? = ? = ? = 90?,(6)   單斜晶系：a ? b ? c; ? = ? = 90?；g ? 90?,(7)   三斜晶系：a ?

53、b ? c; ? ? ? ? ? ? 90?,(2)   六方晶系：a = b ? c; ? = ? = 90?; ? = 120?,(4)   三方晶系：a = b = c; ? = ? = ? ? 90?,有 4 條 3 次旋轉(zhuǎn)軸或 3 次倒轉(zhuǎn)軸,唯一的 6 次旋轉(zhuǎn)軸或 6 次倒轉(zhuǎn)軸,唯一的 4 次旋轉(zhuǎn)軸或 4 次倒轉(zhuǎn)軸,唯一的 3 次旋轉(zhuǎn)軸或 3 次倒轉(zhuǎn)軸,有 3 個(gè) 2 次旋轉(zhuǎn)軸

54、或 2 次倒轉(zhuǎn)軸,唯一的 2 次旋轉(zhuǎn)軸或 2 次倒轉(zhuǎn)軸,只有 1 次旋轉(zhuǎn)軸或1 次倒轉(zhuǎn)軸,立方晶系具有 4 條 3 次旋轉(zhuǎn)軸： 4 條體對(duì)角線,,這三個(gè)頂角構(gòu)成了一個(gè)等邊三角形。,,這是六方晶系的六次對(duì)稱(chēng)軸。,簡(jiǎn)單格子:只有八個(gè)頂點(diǎn)處有結(jié)點(diǎn),對(duì)于每一類(lèi)格子，考慮到平行六面體選取原則，可能會(huì)出現(xiàn)四種情況,對(duì)于每一類(lèi)格子，考慮到平行六面體選取原則，可能會(huì)出現(xiàn)四種情況,底心格子：除了 8 個(gè)頂點(diǎn)外，上下兩個(gè)表面的中心處各有 1 個(gè)結(jié)點(diǎn)。,對(duì)于

55、每一類(lèi)格子，考慮到平行六面體選取原則，可能會(huì)出現(xiàn)四種情況,體心格子：除 8 個(gè)頂點(diǎn)外，六面體中心處還有 1 個(gè)結(jié)點(diǎn),對(duì)于每一類(lèi)格子，考慮到平行六面體選取原則，可能會(huì)出現(xiàn)四種情況,面心格子：除了 8 個(gè)頂點(diǎn)外，六個(gè)表面的中心處各有 1 個(gè)結(jié)點(diǎn)。,對(duì)應(yīng)于 7 大晶系，考慮原始、體心、面心和底心的存在，應(yīng)該有 28 種格子。但是，這 28 種格子中，有的可能不滿足對(duì)稱(chēng)性要求，有的則不符合選擇原則。去掉了這些不符合要求的格子后，共有 14 種

56、不同形式的空間格子。這就是通常所說(shuō)的 14 種布拉維格子。,(1)   立方格子 3 個(gè)：簡(jiǎn)單、體心、面心(2)   四方格子 2 個(gè)：簡(jiǎn)單、體心(3)   正交格子 4 個(gè)：簡(jiǎn)單、體心、底心、面心(4)   單斜格子 2 個(gè)：簡(jiǎn)單、底心(5)   三斜格子 1 個(gè)：簡(jiǎn)單(6) 

57、  六方格子 1 個(gè)：簡(jiǎn)單(7)   菱方格子 1 個(gè)：簡(jiǎn)單,14 種布拉維格子,為什么沒(méi)有底心立方格子？,考慮這 4 個(gè)底心立方構(gòu)成的圖形,從中可以切出一個(gè)體積更小的長(zhǎng)方體。即簡(jiǎn)單四方格子,底心立方的體對(duì)角線不是 3 次旋轉(zhuǎn)軸。所以切成簡(jiǎn)單四方不違背對(duì)稱(chēng)性原則。,試作圖分析為什么不存在有面心四方格子和底心四方格子。說(shuō)明你的分析并不違背劃分布拉維格子的四條基本原則。,習(xí) 題,,素格子和復(fù)格子、原

58、胞和晶胞,原始格子、體心格子、面心格子和底心格子分別含有 1 個(gè)、2 個(gè)、4 個(gè)和 2 個(gè)結(jié)點(diǎn)含有 1 個(gè)結(jié)點(diǎn)的格子有時(shí)也稱(chēng)為素格子；含有 1 個(gè)以上結(jié)點(diǎn)的格子相應(yīng)地稱(chēng)為復(fù)格子如果把空間點(diǎn)陣還原為晶體結(jié)構(gòu)，也就是把每個(gè)結(jié)點(diǎn)位置上布置上晶體的基元，由原始格子所得到的描述晶體結(jié)構(gòu)的平行六面體稱(chēng)為原胞，而由布拉維格子所得到的描述晶體結(jié)構(gòu)的平行六面體則稱(chēng)為晶胞。只含一個(gè)結(jié)構(gòu)基元的晶胞稱(chēng)為素晶胞；含有 1 個(gè)以上結(jié)構(gòu)基元的晶胞則稱(chēng)為復(fù)晶胞。

59、,這個(gè)六方格子不是布拉維格子,這個(gè)六方格子才是布拉維格子,3 ) 結(jié)點(diǎn)位置、晶向、晶面及其表示方法,在空間點(diǎn)陣中，分布在同一直線上的結(jié)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)行列。還原為晶體結(jié)構(gòu)后，行列的方向則稱(chēng)為晶向。連接分布在同一平面內(nèi)的結(jié)點(diǎn)即構(gòu)成一個(gè)面網(wǎng)。還原為晶體結(jié)構(gòu)后，面網(wǎng)則稱(chēng)為晶面。,結(jié)點(diǎn)位置的表示方法,以布拉維格子的任意一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以三條棱作為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系。用結(jié)點(diǎn)在這一空間坐標(biāo)系中的坐標(biāo)即可表示結(jié)點(diǎn)的位置。,簡(jiǎn)單格子：只有八個(gè)頂點(diǎn)處有結(jié)點(diǎn)

60、。坐標(biāo)值分別為：,000, 010, 001, 100101, 110, 011, 111,這 8 個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)于布拉維格子而言只相當(dāng)于 1 個(gè)結(jié)點(diǎn)，其位置可以統(tǒng)一寫(xiě)成：000,體心格子：除了八個(gè)頂點(diǎn)外，體心處還有 1 個(gè)結(jié)點(diǎn)。坐標(biāo)值分別為：,同樣，8個(gè)頂點(diǎn)位置處的結(jié)點(diǎn)可以統(tǒng)一寫(xiě)成：000,,體心,底心格子：除了八個(gè)頂點(diǎn)外，體心處還有 1 個(gè)結(jié)點(diǎn)。坐標(biāo)值分別為：,8個(gè)頂點(diǎn)位置處的結(jié)點(diǎn)可以統(tǒng)一寫(xiě)成：000底心的的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于 1 個(gè)：,

61、,底心,,面心格子：,8個(gè)頂點(diǎn)位置處的結(jié)點(diǎn)可以統(tǒng)一寫(xiě)成：000面心的的結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于3 個(gè)：,,面心,,晶向及其表示方法,空間點(diǎn)陣的結(jié)點(diǎn)可以看成是分列在一系列相互平行的直線上，這些直線系稱(chēng)為晶列同一個(gè)點(diǎn)陣可以形成方向不同的晶列每一個(gè)晶列定義了一個(gè)方向稱(chēng)為晶向如果從一個(gè)結(jié)點(diǎn)沿晶向到最近的結(jié)點(diǎn)的位移矢量為 ha + kb + lc，則該晶向就可以寫(xiě)成 [h k l]。h, k, l 均為整數(shù)，通常稱(chēng)為晶向米勒指數(shù)如果 h、k、l 中某

62、一個(gè)或幾個(gè)的值為負(fù)數(shù)，則需要將負(fù)號(hào)標(biāo)注在該數(shù)的上方,,,X,Y,Z,,,考慮到空間點(diǎn)陣的平移對(duì)稱(chēng)性，不難理解一組晶向指數(shù)事實(shí)上代表了相互平行、方向一致的所有晶向。如果兩個(gè)晶向相互平行但方向相反，則晶向指數(shù)中的數(shù)字相同但符號(hào)相反,,晶體中原子排列情況相同但空間位向不同的一組晶向稱(chēng)為晶向族，可以用符號(hào) 加以表示。,立方晶系的四條體對(duì)角線構(gòu)成的 8 個(gè)晶向 (方向不同) 上原子的排列是完全相同的，只是取向不同，所以構(gòu)成了一個(gè)晶向族，可以用符

63、號(hào) 表示。但是，正交晶系中的 [100]、[010] 和 [001] 這 3 個(gè)晶向就不是等同的，因?yàn)樵谶@ 3 個(gè)晶向上的原子間距分別為 a、b、c，原子的排列情況不同，所以不屬于同一晶向族。,7 大晶系都有各自的基本對(duì)稱(chēng)要素 ?? 對(duì)稱(chēng)軸。試給出各晶系所含有的最高次對(duì)稱(chēng)軸所在晶向的米勒指數(shù)。畫(huà)出一個(gè)面心立方布拉維格子，標(biāo)出其中的 [111]、[121] 及 晶向。,習(xí) 題,,晶面及其表示方法,空間點(diǎn)

64、陣的結(jié)點(diǎn)可以從各個(gè)方向被劃分為許多組平行且等距的平面點(diǎn)陣。這些平面點(diǎn)陣所處的平面稱(chēng)為晶面晶面具有兩個(gè)特點(diǎn)晶面族一經(jīng)劃定，所有結(jié)點(diǎn)都全部包含在晶面族中而無(wú)一遺漏一族晶面平行且兩兩等距，這是空間點(diǎn)陣周期性的必然結(jié)果晶面可以采用一組米勒指數(shù) (h k l) 來(lái)表示,晶面米勒指數(shù) (h k l) 的確定,因?yàn)樗械慕Y(jié)點(diǎn)都在所考慮的晶面族上，所以必然有一個(gè)晶面通過(guò)原點(diǎn)，而其他晶面既然相互等距，就將均勻切割各坐標(biāo)軸選擇一個(gè)不過(guò)原點(diǎn)的晶面，

65、找出這個(gè)晶面在各坐標(biāo)軸上的截距x, y, z。將截距的倒數(shù)化成互質(zhì)的整數(shù) h, k , l。如果晶面族與某一軸平行，則截距為無(wú)窮大，相應(yīng)的米勒指數(shù)就為 0。如果 h、k、l 中某一個(gè)或幾個(gè)的值為負(fù)數(shù)，則需要將負(fù)號(hào)標(biāo)注在該數(shù)的上方。,待標(biāo)晶面在三個(gè)軸上的截距分別為：1/2，2/3，1.2。取倒數(shù)后得到 2, 3/2, 2?；癁榛ベ|(zhì)整數(shù)則得到 4, 3, 4 三個(gè)數(shù)。因此該晶面的米勒指數(shù)為 (4 3 4)。,Y,X,Z,,,在立方晶

66、系中，晶向 [h k l] 總是垂直于同指數(shù)的晶面 (h k l) 的。可以試著證明一下但是這一關(guān)系在其他晶系中并不普遍適用。,等大球體六方最緊密堆積結(jié)構(gòu)中，密堆面是哪個(gè)面？試作圖表示之。等大球體立方最緊密堆積結(jié)構(gòu)中，密堆面是哪個(gè)面？試作圖表示之。找出面心立方格子中的一些對(duì)稱(chēng)面，寫(xiě)出其晶面米勒指數(shù)。,習(xí) 題,,4) 晶面間距,晶面間距指的是兩個(gè)相鄰的平行晶面之間的距離。對(duì)于給定的空間點(diǎn)陣，晶面間距與晶面指數(shù)、點(diǎn)陣常數(shù)之間存在

67、一定的關(guān)系。了解這些關(guān)系對(duì)于計(jì)算 X 射線衍射圖具有重要意義。,根據(jù)空間解析幾何中點(diǎn)與面之間距離的計(jì)算公式即可以得到：,晶面方程為：,,考慮? = ? = ? = 90? 的情況,,對(duì)于立方晶系，a = b = c, 因此可以簡(jiǎn)化為：,其他晶系的晶面距與晶面指數(shù)、晶格常數(shù)之間的關(guān)系較為復(fù)雜。有興趣的可以自己推導(dǎo)一下，一些教科書(shū) 上也能找到。,一個(gè)簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的 (110) 晶面的間距為 3.03 nm，試計(jì)算其 (111) 晶面的間