大學(xué)空間向量解析幾何

1、,第六節(jié),一、空間直線方程,二、線面間的位置關(guān)系,空間直線及其方程,三、實例分析,,一、空間直線方程,,,,因此其一般式方程,1. 一般式方程,直線可視為兩平面交線，,,(不唯一),,2. 對稱式方程,故有,說明: 某些分母為零時, 其分子也理解為零.,設(shè)直線上的動點為,則,,此式稱為直線的對稱式方程(也稱為點向式方程),直線方程為,,已知直線上一點,例如, 當,和它的方向向量,,,,,3. 參數(shù)式方程,設(shè),得參數(shù)式方程 :,,例1.用

2、對稱式及參數(shù)式表示直線,解:先在直線上找一點.,再求直線的方向向量,令 x = 1, 解方程組,,得,交已知直線的兩平面的法向量為,是直線上一點 .,,,,,故所給直線的對稱式方程為,,解題思路:,先找直線上一點;,再找直線的方向向量.,,,二、線面間的位置關(guān)系,1. 兩直線的夾角,則兩直線夾角 ? 滿足,設(shè)直線 L1, L2 的方向向量分別為,兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角),特別有:,例2. 求以下兩直線的夾角,解:

3、直線L1的方向向量為,直線L2的方向向量為,二直線夾角? 的余弦為,從而,,當直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角為,線所夾銳角? 稱為直線與平面間的夾角;,2. 直線與平面的夾角,當直線與平面不垂直時,,設(shè)直線 L 的方向向量為,平面 ? 的法向量為,則直線與平面夾角 ? 滿足,,,,,直線和它在平面上的投影直,,,,,特別有:,解: 取已知平面的法向量,則直線的對稱式方程為,直的直線方程.,為所求直線的方向向量.,,,,垂,,,例3. 求過

4、點(1,－2 , 4) 且與平面,3. 相關(guān)的幾個問題,(1) 過直線,的平面束,,,,,,方程,,到直線,的距離,為,(2) 點,,,,,,,,,,,三、實例分析,例1. 求與兩平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交線,提示: 所求直線的方向向量可取為,利用點向式可得方程,平行,,且 過點 (–3 , 2 , 5) 的直線方程.,例2. 求直線,與平面,的交點 .,提示: 化直線方程為參數(shù)方程,代入平

5、面方程得,從而確定交點為（1，2，2）.,,例3. 求過點( 2 , 1 , 3 ) 且與直線,垂直相交的直線方程.,提示: 先求二直線交點 P.,化已知直線方程為參數(shù)方程, 代入 ①式, 可得交點,最后利用點向式得所求直線方程,的平面的法向量為,故其方程為,①,,,,,,,,,過已知點且垂直于已知直線,,,例4. 求直線,在平面,上的投影直線方程.,提示：過已知直線的平面束方程,從中選擇? 使其與已知平面垂直,,得,這是投影平面,,