共點力平衡之臨界極值問題專題教師版

1、共點力平衡中的臨界極值問題專題(教師版)1臨界問題當某物理量變化時，會引起其他物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”、“剛能”、“恰好”等語言敘述。2極值問題物體平衡的極值，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題。一般用圖解法或解析法進行分析。3解決極值問題和臨界問題的方法(1)極限法：首先要正確地進行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點和極值點；臨界條件必須在變化中去尋找

2、，不能停留在一個狀態(tài)來研究臨界問題，而要把某個物理量推向極端，即極大和極小，并依次做出科學的推理分析，從而給出判斷或?qū)С鲆话憬Y(jié)論。(2)數(shù)學分析法：通過對問題的分析，依據(jù)物體的平衡條件寫出物理量之間的函數(shù)關(guān)系(或畫出函數(shù)圖象)，用數(shù)學方法求極值(如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值)，但利用數(shù)學方法求出極值后，一定要依據(jù)物理原理對該值的合理性及物理意義進行討論和說明。(3)物理分析方法：根據(jù)物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理

3、過程的分析，利用平行四邊形定則進行動態(tài)分析，確定最大值與最小值。例1如圖所示，質(zhì)量為m的物體放在一固定斜面上，當斜面傾角為30時恰能沿斜面勻速下滑。對物體施加一大小為F水平向右的恒力，物體可沿斜面勻速向上滑行。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，當斜面傾角增大并超過某一臨界角θ0時，不論水平恒力F多大，都不能使物體沿斜面向上滑行，試求：(1)物體與斜面間的動摩擦因數(shù)；(2)這一臨界角θ0的大小。解析(1)如圖所示，對物體受力分析，由平衡條件得

4、mgsin30＝μmgcos30解得μ＝tan30＝33(2)設斜面傾角為α時，受力情況如圖所示，由平衡條件得Fcosα＝mgsinα＋FfFN＝mgcosα＋FsinαFf＝μFN解得F＝mgsinα＋μmgcosαcosα－μsinα當cosα－μsinα＝0，即cotα＝時，F(xiàn)→∞，即“不論水平恒力F多大，都不能使物體33沿斜面向上滑行”，此時，臨界角θ0＝α＝60例2重為G的木塊與水平地面間的動摩擦因數(shù)為μ，一人欲用最小的力F使

5、得木塊做勻速運動，則此最小作用力的大小和方向如何？解析：解析法。木塊在運動中受到摩擦力的作用，要減小摩擦力，應當使作用力F斜向上與水平方向的夾角為θ時，F(xiàn)的值最小。木塊受力分析如圖所α角不變，當拉力F與水平方向夾角β為多大時，拉力F取得最小值(C)Aβ＝0Bβ＝Cβ＝αDβ＝2α3、拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具(如圖所示)。設拖把頭的質(zhì)量為m，拖桿質(zhì)量可以忽略；拖把頭與地板之間的動摩擦因數(shù)為常數(shù)μ，重力加速度為g。某同學用該拖把在

6、水平地板上拖地時，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ。(1)若拖把頭在地板上勻速移動，求推拖把的力的大小；(2)設能使該拖把在地板上從靜止剛好開始運動的水平推力與此時地板對拖把的正壓力的比值為λ。已知存在一臨界角θ0，若θ≤θ0，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開始運動。求這一臨界角的正切值tanθ0。解析：(1)設該同學沿拖桿方向用大小為F的力推拖把，將推拖把的力沿豎直和水平方向分解，由平衡條件得Fcosθ＋m

7、g－FN＝0①Fsinθ－Ff＝0②式中FN和Ff分別為地板對拖把的正壓力和摩擦力，則Ff＝μFN③聯(lián)立①②③式得F＝④μmgsinθ－μcosθ(2)使該拖把在地板上從靜止剛好開始運動的水平推力等于拖把與地板間的最大靜摩擦力，設為Ffm，則依題意有＝λ⑤FfmFN若不管沿拖桿方向用多大的力都不能使拖把從靜止開始運動，應滿足Fcosθ＋mg＝FN⑥Fsinθ≤Ffm⑦聯(lián)立⑤⑥⑦式得F(sinθ－λcosθ)≤λmg⑧因為λmg總是大于零