常微分方程解的延伸

1、13解的延伸解的延伸1的定理1只肯定了在相當(dāng)廣泛的條件之下，解在區(qū)間上存在，其中，hxx??0)min(Mbah?.當(dāng)很大時(shí)，可能很小，甚至出現(xiàn)的定義域擴(kuò)大后，Cauchy問(wèn)題)(max)(yxfmRyx??Mh)(yxf???????00)()(yxyyxfdxdy)2.3()1.3(的解的存在區(qū)間反而縮小的現(xiàn)象.例如Riccati方程的Cauchy問(wèn)題hxx??00)0(22???yyxdxdy當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，.由??11)(1??

2、?yxyxR211?h??22)(2???yxyxR41)822min(2??h此看到，，反而，這說(shuō)明在上，由定理1得到的Cauchy問(wèn)題的解在有定義，21RR?21hh?2R]4141[?至少可以把此解延伸在上仍有定義.]2121[?僅僅知道解局部存在，在許多情形下往往不能滿足需要.我們的問(wèn)題是：能否將一個(gè)在小區(qū)間上有定義的解延伸到比較大的區(qū)間上去呢？這就是本節(jié)所要討論的問(wèn)題.設(shè)微分方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)的解有如下表達(dá)式)1.3(0P?，（）)(

3、:xy???Jx?其中表示的最大存在區(qū)間.J?先考察積分曲線在點(diǎn)右側(cè)的延伸情況.令為在點(diǎn)右側(cè)的最大存在區(qū)間，即?0P?J?0P.)[0????xJJ?若，則積分曲線在區(qū)域內(nèi)就延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)，因此也就延伸到區(qū)域的邊界.否則，)[0????xJ?GG就只有下面兩種可能：1）是有限閉區(qū)間.?J令，其中，方程與條件的解存在于區(qū)間上，當(dāng)][10xxJ??01xx?)1.3()2.3()(xy???J時(shí)，，我們按下述方式把解向右延伸：??JxGxx?

4、))((?)(xy??令，則.因?yàn)閰^(qū)域是一個(gè)開集，所以存在矩形區(qū)域：)(11xy??Gyx?)(1G:1R11axx??11byy??使得.由定理3，，在上，方程至少有一個(gè)解滿足初始條件GR?101??h11hxx??)1.3()(1xy??3由上一節(jié)定理1的證明知，在區(qū)間上是微分方程的滿足初值條件的一個(gè)解.)(xy??][10xx)1.3()2.3(這也就是說(shuō)，上面的積分曲線可延伸到區(qū)間上，這與的最大存在區(qū)間為矛盾.故對(duì)?][10xx

5、?)[10xx任何有限閉區(qū)域，關(guān)系式是不可能成立的.GG?1)3.3(由上述討論可知，積分曲線在點(diǎn)的右側(cè)將延伸到區(qū)域的邊界.同理可證，積分曲線在點(diǎn)?0PG?0P的左側(cè)也將延伸到區(qū)域的邊界.G把上面的結(jié)果寫成一個(gè)定理，即有定理4設(shè)為區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)是積分方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)的任一條積分曲線，則積分曲線0PG?)1.3(0P將在區(qū)域內(nèi)延伸到邊界.?G由定理1和定理4立即可得如下推論.推論推論設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且對(duì)滿足局部的李普希茲條件，則微分方程經(jīng)

6、過(guò))(yxfGy)1.3(內(nèi)任一點(diǎn)存在唯一的積分曲線，并且在內(nèi)延伸到邊界.G0P??G例1在平面上任取一點(diǎn)，試證初值問(wèn)題)(000yxP：，)(E2)(xyeyxdxdy??00)(yxy?的右行解（即從點(diǎn)出發(fā)向右延伸的解）都在區(qū)間存在.0P???xx0證記，它在全平面上連續(xù).對(duì)于平面上任意一個(gè)包含點(diǎn)的區(qū)域，2)()(xyeyxyxf??0PG在上一致連續(xù)，所以對(duì)，，亦即在)](21[2yxxyeyfxy??????RGyx?)(Nyy

7、xf???)()(yxf上滿足李普希茲條件，從而由上面的推論可知，初值問(wèn)題的解存在且唯一，并且可以延伸到的R)(EG邊界.不難看出，直線：是微分方程所對(duì)應(yīng)的線素場(chǎng)的水平等斜線，且線素的斜率在上方為負(fù)，Lxy?L因而積分曲線在上方是單調(diào)下降的，而在下方線素的斜率為正，故積分曲線在下方是單調(diào)上升的.LLL現(xiàn)設(shè)位于的上方，即有.利用的右行解在條形域0PL00yx?)(E?:S??????????yyxxyx)(00上的延伸定理，以及積分曲線在