高考理科立體幾何大題

1、一， [2017·山東濟(jì)南調(diào)研]如圖，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，AA1C1C 是邊長為 4 的正方形．平面 ABC⊥平面 AA1C1C，AB＝3，BC＝5. (1)求證：AA1⊥平面 ABC； (2)求二面角 A1－BC1－B1的余弦值； (3)在線段 BC1上是否存在點(diǎn) D，使得 AD⊥A1B？若存在，試求出BDBC1的值． (1)[證明] 在正方形 AA1C1C 中，A1A⊥AC. 又平面 ABC⊥平面 AA1C1

2、C， 且平面 ABC∩平面 AA1C1C＝AC，AA1? 平面 AA1C1C. ∴AA1⊥平面 ABC. (2)[解] 由(1)知，AA1⊥AC，AA1⊥AB， 由題意知，在△ABC 中，AC＝4，AB＝3，BC＝5， ∴BC2＝AC2＋AB2，∴AB⊥AC. ∴以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 A－xyz. A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)， 于是A1C1→＝(4,0,0)，A

3、1B→＝(0,3，－4)， B1C1→＝(4，－3,0)，BB1→＝(0,0,4)． 設(shè)平面 A1BC1的法向量 n1＝(x1，y1，z1)， (1)求平面 PAB 與平面 PCD 所成二面角的余弦值； (2)點(diǎn) Q 是線段 BP 上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線 CQ 與 DP 所成的角最小時(shí)，求線段 BQ 的長． [解] 以{AB→，AD→，AP→}為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 A－xyz， 則各點(diǎn)的坐標(biāo)為 B(1,0,0)，C(1,1,

4、0)，D(0,2,0)， P(0,0,2)． (1)由題意知，AD⊥平面 PAB， 所以AD→是平面 PAB 的一個(gè)法向量， AD→＝(0,2,0)． 因?yàn)镻C→＝(1,1，－2)，PD→＝(0,2，－2)． 設(shè)平面 PCD 的法向量為 m＝(x，y，z)， 則 m·PC→＝0，m·PD→＝0， 即? ? ? ? ?x＋y－2z＝0，2y－2z＝0.令 y＝1，解得 z＝1，x＝1. 所以 m＝(1,1,1)是平面