高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)準(zhǔn)備

1、1（一）函數(shù)1凹（凸）函數(shù)1.1凸集凸集：對(duì)于任意兩點(diǎn)和，且對(duì)于每一個(gè)，當(dāng)且僅當(dāng)uS?vS?[01]??為真時(shí)，集合為凸集。(1)wuvS??????nSR?凸集要求集合內(nèi)兩點(diǎn)之間的連線必須也在集合內(nèi)，即該集合不存在任何孔，它的邊緣也不能有縮進(jìn)。例如，平面中，一條線段就是一個(gè)凸集，而一個(gè)圓圈則不是。1.2凹（凸）函數(shù)介紹凸集是為了引入凹（凸）函數(shù)：不管是凹函數(shù)還是凸函數(shù)都要求其定義域是凸集。我們可以先舉個(gè)例子直觀感受下凹（凸）函數(shù)的特征

2、，比如函數(shù)就是一244yxx????個(gè)凹函數(shù)，它在定義域內(nèi)呈現(xiàn)出峰形；函數(shù)就是一個(gè)凸函數(shù)，它在定義域244yxx???內(nèi)呈現(xiàn)谷底。現(xiàn)在具體給出凹（凸）函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)，其定義域內(nèi)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)和當(dāng)且僅當(dāng):fDR?1x2x1212(x)(1)(x)(x(1)x)(01)tftffttt???????時(shí)，函數(shù)f為凹函數(shù)。對(duì)于函數(shù)，其定義域內(nèi)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)和當(dāng)且僅當(dāng):fDR?1x2x1212(x)(1)(x)(x(1)x)(01)tf

3、tffttt???????時(shí)，函數(shù)f為凸函數(shù)。若將不等號(hào)“”和“”分別變換成嚴(yán)格不等號(hào)“”和“”，上述定義便成了????嚴(yán)格凹函數(shù)和嚴(yán)格凸函數(shù)的定義。因?yàn)榘己瘮?shù)的定義域?yàn)橥辜?，因此點(diǎn)也一定在函數(shù)的定義域內(nèi)。12x(1)xtt??我們可以利用凹（凸）函數(shù)和嚴(yán)格凹（凸）函數(shù)判斷函數(shù)極值的情況。凹函數(shù)一定存在絕對(duì)極大值，但絕對(duì)極大值可能不是唯一的，因?yàn)槿绻椒灏粋€(gè)平頂，則可能存在多重絕對(duì)極大值。僅當(dāng)我們限定它為嚴(yán)格凹形函數(shù)時(shí)，絕對(duì)值才可能

4、是唯一的。1.3凹（凸）函數(shù)與凸集的關(guān)系首先我們必須區(qū)別凸集與凸函數(shù)的概念。根據(jù)定義，可知當(dāng)“凸的”在描述集合時(shí)，它要求該集合不能出現(xiàn)任何孔，邊緣也不能有縮進(jìn)。這不同于之前的凹（凸）函數(shù)：當(dāng)“凸的”在描述函數(shù)時(shí)，它確定的是一條曲線或曲面是如何彎曲的。但凹（凸）函數(shù)確實(shí)與凸集有關(guān)。除了定義域都要求是凸集之外，它們都可以引致一個(gè)凸集。定理是凹函數(shù)是凸集；(x)f??(x)x(x)AyDfy????，Comment[z2]:穩(wěn)態(tài)值是指選擇變量

5、的最優(yōu)解還是指函數(shù)的12(...)nxxx最優(yōu)解產(chǎn)生疑問(wèn)是12(...)nfxxx因?yàn)槭Y中一那本書里提到的是穩(wěn)定值的概念，用的是后一種表述。前一種表述是高微筆記上記的。3（6）凹（凸）函數(shù)相加仍為凹（凸）函數(shù)，擬凹和擬凸函數(shù)則沒(méi)有類似關(guān)系。（二）無(wú)約束的最優(yōu)化問(wèn)題1一元函數(shù)的無(wú)約束極值本講義將討論的函數(shù)范圍限定在二次連續(xù)可微函數(shù)的范圍里。給定一個(gè)二次連續(xù)可微的一元函數(shù)。易知，它在處取得極值的一階()yfx?0xx?必要條件為：。而該極值

6、究竟是極大值還是極小值得看的符號(hào)：若()0fx?()fx，則為唯一的絕對(duì)極大值；若，則為唯一的絕對(duì)極小值。()0fx?0()fx()0fx?0()fx利用上述極值的導(dǎo)數(shù)條件，我們可以推導(dǎo)出極值的微分條件，即：極值的一階必要條件：對(duì)于任意非零，函數(shù)的一階全微分為()0dyfxdx???dx零；對(duì)于任意非零，我們也可以通過(guò)222[()]()()()dydfxdxfxdxfxdx????dx計(jì)算函數(shù)的二階全微分來(lái)判斷極值的情況。綜上，當(dāng)函數(shù)為

7、二次連續(xù)可微時(shí)，它取得極值的必要條件為：（1）函數(shù)在取得絕對(duì)極大值，對(duì)于任意非零都成立；x22()0()0dyfxdxdyfxdx??????()dx（2）函數(shù)在取得絕對(duì)極小值，對(duì)于任意非零都成立。x22()0()()0dyfxdxdyfxdx??????dx在滿足必要條件的前提下，函數(shù)取得唯一的絕對(duì)極值時(shí)充分條件為，對(duì)于任意非零都成立函數(shù)在取得唯一絕對(duì)極大值；22()0dyfxdx??()dx?x，對(duì)于任意非零都成立函數(shù)在取得唯一絕對(duì)