2015年高考北京理科數(shù)學(xué)試題及答案解析

1、12015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)（理科）數(shù)學(xué)（理科）第一部分一部分（選擇題（選擇題共40分）分）一、選擇題：本大題共一、選擇題：本大題共8小題，每小題小題，每小題5分，共分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)項(xiàng)（1）【2015年北京，理1】復(fù)數(shù)（）??i2i??（A）（B）（C）（D）12i?12i?1

2、2i??12i??【答案】A【解析】，故選A??2i2i2ii12i?????（2）【2015年北京，理2】若，滿足則的最大值為（）xy010xyxyx??????????，，，2zxy??（A）0（B）1（C）（D）322【答案】D【解析】如圖，當(dāng)，，故選D01xy??max2z?（3）【2015年北京，理3】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）（A）（B）（C）（D）??22?，??40?，??44??，??08?，【答案】B【

3、解析】，結(jié)束，輸出，故選B020212222240403stxykstxykstxyk???????????????????(40)?（4）【2015年北京，理4】設(shè)，是兩個不同的平面，是直線且“”是“”??mm??m?∥??∥的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】B【解析】不能推出，而，，“”是“”的必要不充分條件，故m?????m???m???選B（5）【2015年北京

4、，理5】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）（A）（B）（C）（D）525?45?225?【答案】C【解析】由三視圖知，面ABC，，，PA?12222ABCS????A5ABAC??，，155122PABPCASS?????AA6PCPB??12552PBCS????A?，225S??故選C（6）【2015年北京，理6】設(shè)是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是（）??na（A）若，則（B）若，則120aa??230aa??130a

5、a??120aa??（C）若，則（D）若，則120aa??213aaa?10a?????21230aaaa???【答案】C【解析】，，所以，，故選C210aa??0d??30a?132132aaaaa???3，則；_______MNxAByAC???????????????x?y?【答案】，12x?16y??【解析】，所以111111()323226MNMCCNACCBACABACABAC????????????????????????

6、???????????????????????????1126xy???（14）【2015年北京，理14】設(shè)函數(shù)①若，則的最小值為；②??????21421.xaxfxxaxax?????????????≥1a???fx若恰有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是??fxa【答案】；min()1fx????1122a??????????【解析】①當(dāng)時，，1a?211()4(1)(2)1xxfxxxx?????????時，，時，，所以；1x?1()

7、1fx???1x?min311()()4()1222fxf???????min()1fx??②（Ⅰ）當(dāng)時，沒有兩個零點(diǎn)，0a?()fx（Ⅱ）當(dāng)時，時，，有一個零點(diǎn)；01a??1x?220log0xaax?????()fx時，；1x?12()02fxxaxa????當(dāng)，即時，恰有兩個零點(diǎn)，所以當(dāng)時，恰有兩個零點(diǎn)；21a?12a?()fx112a??()fx（Ⅲ）當(dāng)時，時，，有一個零點(diǎn)；12a??1x?220log1xaax?????()f

8、x時，，，有兩個零點(diǎn)，1x?1()0fxxa???22xa?()fx此時有三個零點(diǎn)；()fx（Ⅳ）當(dāng)時，時，無零點(diǎn)；時，有兩個零點(diǎn)，此時有兩個零點(diǎn)2a?1x?1x≥()fx綜上所述??1122a??????????三、解答題：共三、解答題：共6題，共題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程（15）【2015年北京，理15】（本小題滿分13分）已知函數(shù)2()2sincos2sin222xx

9、xfx??（Ⅰ）求的最小正周期；()fx（Ⅱ）求在區(qū)間上的最小值()fx[π0]??解：（Ⅰ），周期22()sin(1cos)22fxxx???222sincos222xx???2sin()42x????221T????（Ⅱ）最小值為0x?????3444x????????21sin()42x??????21()02fx??????212??（16）【2015年北京，理16】（本小題滿分13分），兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康

10、復(fù)時間AB（單位：天）記錄如下：組：10，11，12，13，14，15，16A組：12，13，15，16，17，14，Ba假設(shè)所有病人的康復(fù)時間互相獨(dú)立，從，兩組隨機(jī)各選1人，組選出的人記為甲，組選出的人ABAB記為乙（Ⅰ）求甲的康復(fù)時間不少于14天的概率；（Ⅱ）如果，求甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的概率；25a?（Ⅲ）當(dāng)為何值時，，兩組病人康復(fù)時間的方差相等？（結(jié)論不要求證明）aAB解：（Ⅰ）記甲康復(fù)時間不小于14天為事件則，所以甲康