第一節(jié) 微分方程的基本概念

1、第六章第六章微分方程微分方程教學目的：教學目的：1了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。3會解齊次微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程。4掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。5.求自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。教學重點：教學重點：1、可分離的微分方程及一階線性微

2、分方程的解法2、二階常系數(shù)齊次線性微分方程；3、自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；教學難點：教學難點：1、齊次微分方程；2、自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。教學過程：教學過程：6.1微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、引一、引例函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映?利用函數(shù)關(guān)系又可以對客觀事物的規(guī)律性進行研究?因此如何尋找

3、出所需要的函數(shù)關(guān)系?在實踐中具有重要意義?在許多問題中?往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系?但是根據(jù)問題所提供的情況?有時可以列出含有要找的函數(shù)及其導數(shù)的關(guān)系式?這樣的關(guān)系就是所謂微分方程?微分方程建立以后?對它進行研究?找出未知函數(shù)來?這就是解微分方程?本章主要介紹微分方程的一些基本概念和幾種常用的微分方程的解法。例1一曲線通過點(1?2)?且在該曲線上任一點M(x?y)處的切線的斜率為2x?求這曲線的方程?解設所求曲線的方程為y?y(

4、x)?根據(jù)導數(shù)的幾何意義?可知未知函數(shù)y?y(x)把C1?C2的值代入(6)及(7)式得v??0?4t?20?(8)s??0?2t2?20t?(9)在(8)式中令v?0?得到列車從開始制動到完全停住所需的時間(s)?504.020??t再把t?50代入(9)?得到列車在制動階段行駛的路程s??0?2?502?20?50?500(m)?二、微分方程的基本概念二、微分方程的基本概念?微分方程微分方程?表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導數(shù)與自變量之間

5、的關(guān)系的方程?叫微分方程?常微分方程常微分方程?未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程?叫常微分方程?偏微分方程偏微分方程?未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程?叫偏微分方程?微分方程的階微分方程的階?微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)?叫微分方程的階?x3y????x2y???4xy??3x2?y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?y(n)?1?0?一般n階微分方程?F(x?y?y??????y(n))?0?y(n)?

6、f(x?y?y??????y(n?1))?微分方程的解微分方程的解?滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解?確切地說?設函數(shù)y??(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導數(shù)?如果在區(qū)間I上?F[x??(x)???(x)??????(n)(x)]?0?那么函數(shù)y??(x)就叫做微分方程F(x?y?y??????y(n))?0在區(qū)間I上的解?通解通解?如果微分方程的解中含有任意常數(shù)?且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階