第九章 偏微分方程差分方法匯總

1、170第9章偏微分方程的差分方法偏微分方程的差分方法含有偏導(dǎo)數(shù)的微分方程稱(chēng)為偏微分方程。由于變量的增多和區(qū)域的復(fù)雜性，求偏微分方程的精確解一般是不可能的，經(jīng)常采用數(shù)值方法求方程的近似解。偏微分方程的數(shù)值方法種類(lèi)較多，最常用的方法是差分方法差分方法。差分方法具有格式簡(jiǎn)單，程序易于實(shí)現(xiàn)，計(jì)算量小等優(yōu)點(diǎn)，特別適合于規(guī)則區(qū)域上偏微分方程的近似求解。本章將以一些典型的偏微分方程為例，介紹差分方法的基本原理和具體實(shí)現(xiàn)方法。9.19.1橢圓型方程邊值

2、問(wèn)題的差分方法橢圓型方程邊值問(wèn)題的差分方法9.1.19.1.1差分方程的建立差分方程的建立最典型的橢圓型方程是PoissonPoisson（泊松）方程（泊松）方程（9.1）Gyxyxfyuxuu???????????)()()(2222G是xy平面上的有界區(qū)域，其邊界Γ為分段光滑的閉曲線(xiàn)。當(dāng)f(xy)≡0時(shí)，方程（9.1）稱(chēng)為L(zhǎng)aplace(Laplace(拉普拉斯）方程拉普拉斯）方程。橢圓型方程的定解條件主要有如下三種邊界條件第一邊值

3、條件（9.2）)(yxu???第二邊值條件（9.3）)(yxnu?????第三邊值條件（9.4）)()(yxkunu??????這里，n表示Γ上單位外法向，α(xy)β(xy)γ(xy)和k(xy)都是已知的函數(shù)，k(xy)≥0。滿(mǎn)足方程（9.1）和上述三種邊值條件之一的光滑函數(shù)u(xy)稱(chēng)為橢圓型方程邊值問(wèn)題的解。用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精確解u(xy)在區(qū)域G的一些離散節(jié)點(diǎn)（xi，yi）上的近似值uij≈(xi，yi）。

4、差分方法的基本思想是，對(duì)求解區(qū)域G做網(wǎng)格剖分，將偏微分方程在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上離散化，導(dǎo)出精確解在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上近似值所滿(mǎn)足的差分方程，最終通過(guò)求解差分方程，通常為一個(gè)線(xiàn)性方程組，得到精確解在離散節(jié)點(diǎn)上的近似值。設(shè)G=00B(xy)≥Bmin0E(xy)≥0。引進(jìn)半節(jié)點(diǎn)12121hxxii???利用一階中心差商公式，在節(jié)點(diǎn)（ij）處可有22121hyyii???)(2)1()1()()(])1()()()1([1)()]21)(()21)([(1)