四面體的milosevic不等式

1、∑ni=1aα1α2i=nck1α1α2kα2.則∑ni=1aα1icakα2i≥nkck1α1kα2kα2.證明:令xi=aα2i(cakα2i)則xki=akα2i(cakα2i)k=1k(kakα2i)(cakα2i)(cakα2i)≤1kkakα2i(cakα2i)(cakα2i)k1k1=1kkck1k1.則xi≤1kkck1k11k=kck1k1kaα1icakα2i=aα1α2iaα2i(cakα2i)=aα1α2ixi≥

2、aα1α2ikck1k1k.注意到∑ni=1aα1α2i=nck1α1α2kα2即得欲證.參考文獻(xiàn):[1]安振平.一個(gè)極值問題的推廣.中等數(shù)學(xué)1996(4)四面體的Milosevic不等式張宋國(guó)斌(甘肅省金昌市第一中學(xué)737100)文[1]收錄了由D.M.Milosevic在1987年提出并證明的一個(gè)不等式:設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c相應(yīng)邊上的高為ha、hb、hc外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑分別為R、r.則ahbhcbhchachahb≥

3、93R2(4Rr).(1)本文介紹四面體的Milosevic不等式.定理設(shè)四面體A1A2A3A4的四面面積為S1、S2、S3、S4相應(yīng)面上的高為h1、h2、h3、h4外接球半徑、內(nèi)切球半徑分別為R、r.則S1h2h3h4S2h1h3h4S3h1h2h4S4h1h2h3≥63r2R.(2)證明:記四面體A1A2A3A4的體積為V.∵V=13S1h1=13S2h2=13S3h3=13S4h4∴式(2)的左邊=S13VS23VS33VS4S2

4、3VS13VS33VS4S33VS13VS23VS4S43VS13VS23VS3=13VS1S2S3S4S2S3S2S4S3S4S1S2S3S4S1S3S1S4S3S4S1S2S3S4S1S2S1S4S2S4S1S2S3S4S1S2S1S3S2S3≥13VS1S2S3S4(1111)2M其中M=S2S3S2S4S3S4S1S3S1S4S3S4S1S2S1S4S2S4S1S2S1S3S2S3=2(S1S2S1S3S1S4S2S3S2S4S

5、3S4).由文[2]得S1S2S3S4≥383342V83.∴S1S2S3S43V16M≥383342V8313V16M=1M3113V53=3113V2MV13.22中等數(shù)學(xué)∵V=13r(S1S2S3S4)∴V2=19r2(S1S2S3S4)2.而(S1S2S3S4)2≥83(S1S2S1S3S1S4S2S3S2S4S3S4)=43M∴3113V2MV13≥1M311319r243M1V13=4323r21V13.由文[3]得V≤82

6、73R3.故4323r21V13≥4323r232316R=63r2R.式(2)獲證.參考文獻(xiàn):[1]MitrinovicVolence陳計(jì).專著《幾何不等式的新進(jìn)展》的補(bǔ)遺(Ⅰ).寧波大學(xué)學(xué)報(bào)(理Ⅰ版)1991(2):88.[2]陳計(jì)葉中豪.初等數(shù)學(xué)前沿.南京:江蘇教育出版社19964:264.[3]匡繼昌.常用不等式.長(zhǎng)沙:湖南教育出版社(第二版)19935:296.一個(gè)不等式的推廣田彥武(寧夏固原第一中學(xué)756000)從許多相關(guān)雜

7、志上都能見到如下不等式:若x、y∈R則(x2y2)12(x3y3)13.(1)下面筆者給出式(1)的兩個(gè)推廣:推廣1:若x、y∈Rm、n∈N且nm則(xmym)1m(xnyn)1n.(2)推廣2:若a1a2an∈R且st0則∑ni=1ati1t∑ni=1asi1s.(3)事實(shí)上式(3)又是式(2)的推廣因此我們只證明式(3).證明:所證不等式等價(jià)于下列不等式∑ni=1ati1t∑ni=1asi1s1即as1∑asitsasn∑asits

8、1t1.(4)令as1∑asi1s=b1asn∑asi1s=bn則bi0且∑bsi=1.而式(4)即為∑bti1t1Ζ∑bti1.(5)∵bi0且∑bsi=1∴0bsi(st).從而∑bti∑bsi=1.式(5)成立故式(3)成立.一個(gè)并集命題的注記龔輝斌(浙江省義烏市第二中學(xué)322000)文[1]給出并證明了如下命題:命題若A1∪A2∪∪Am=a1a2an則集合A1A2Am的組數(shù)是(2m1)n組.顯然在(2m1)n組集合組中一些集合組