Boussinesq方程組在Besov空間中的定性分析.pdf

1、論文研究了如下的Boussinesq方程組：
　?。?a)tρ+u·▽ρ=0,ρ(a)tθ+ρ(u·▽θ)-μ△θ=0，ρ(a)tu+ρ(u·▽u)-v△u+▽∏=ρθeN其中eN=(0,0，…，1),divu=0(t，x)∈R×RN，u(x,0)=u0（x），θ(x,0)=θ0(x),ρ(x,0)=ρ0(x),在Besov空間中的局部存在性、整體解的存在唯一性以及穩(wěn)定性。這里ρ=ρ(x，t)為流體密度，u=u(x，t)為速度向量

2、場，θ=θ(x，t)為化學(xué)物質(zhì)濃度或者重力場中的溫度，∏為壓力，N是維數(shù)。這個方程組主要描述了大氣邊界層和近海岸淺水層里的Boussinesq近似現(xiàn)象。
　　本文的主要內(nèi)容分布在第二、三、四章。在第二章中，我們研究了上述方程組在N=3，ρ=1（即經(jīng)典的Boussinesq方程組）時給定光滑解的穩(wěn)定性。假設(shè)（(θ)，(u)）是一個滿足初始條件((θ)0，(u)0)∈H1×H1，∫(θ)0dx=0，(θ)0∈L11，‖(θ)0‖1＜ε

3、0的整體解（即參考解）。我們證明了當(dāng)（(θ)0，(u)0）有一個小擾動時，方程組的解仍然是Boussinesq方程組的整體光滑解，并且這個解很接近參考解。證明此方程組整體解的一致有界的關(guān)鍵步驟是要得到θ∈L1（(B)1/22,1）:先通過能量方法得到▽θ所滿足的能量不等式，然后再使用Fourier Splitting法和[6]中得到的‖θ(t)‖≤C(1+t)-5/4的結(jié)果，由此便可得到‖▽θ‖2的衰減性，然后又由Besov空間的內(nèi)插不

4、等式即可得到θ∈L1((B)1/22,1)。最后使用能量方法在臨界Besov空間中研究具有源項(xiàng)θ的Navier-Stokes的近似方程組，得到了整體解的一致有界性，同時可得到▽u∈L1（(B)3/22,1）（→ L1(L∞)）。在證明穩(wěn)定性時，由于已知了▽u∈L1（(B)3/22,1）(→ L1(L∞))，于是我們只需要考慮方程組
　?。?a)t(θ)-△(θ)=-((u)+(u)）·▽(θ)-(u)·▽(θ)，(a)t(u)-△

5、(u)+▽∏=-((u)+(u)）·▽(u)-(u)·▽(u)+(θ)e3,div(u)=0,（(θ)，(u)）丨t=0=（(θ)0，(u)0），滿足條件‖(θ)0‖1≤ε0和‖(θ)0‖2+‖(θ)0‖(B)→3/22,1+‖(u)0‖B1/22,1＜ε1時在臨界Besov空間中整體小解的存在性，其中（(a)，(θ)，(u)）=（a-(a)，θ-(θ)，u-(u)）。
　　在第三章中，我們主要討論了，當(dāng)ρ是常數(shù)的小擾動時，初值（

6、a0，θ0,u0）∈(B)N/p1p1，1×(B)N/p2-3p2,1×(B)N-1/p2p2,1足夠小時，N維空間中各向異性的Boussinesq方程組解（ρ，θ，u）的局部存在性、整體存在性和唯一性。當(dāng)T∈(0，+∞)時，我們使用了正則化方法，首先正則化初值，得到一個近似方程組在H(o)lder空間Hs中的局部唯一解，然后當(dāng)p1，p2≥2時，由Bernstein不等式以及H(o)lder空間與Besov空間的關(guān)系，可得到在臨界的齊次

7、Besov空間的局部解的存在唯一性;而當(dāng)p1＜2或者p2＜2時，上述嵌入式是不成立的，因此這里引入了一個不同的方法。首先設(shè)(θn，un，▽∏n)=（θnL，unL，▽∏nL+（(θ)n，(u)n，▽(∏)n），其中(θnL，unL，▽∏nL)是如下方程組的解
　?。?a)tθnL-△θnL=0，(a)tunL-△unL+▽∏nL=θnL，divunL=0，unL(x,0)=u0(x),θnL(x,0)=u1(x),x∈RN.然后使

8、用Sobolev空間，Besov空間的插值和乘積公式可得到（an，θn，un，▽∏n）在臨界的齊次Besov空間中局部解的存在唯一性。最后證明這個近似解的一致有界性和收斂性，最終可得到這個近似解的極限為方程組的整體解，并且有當(dāng)N＞1，1≤p1＜∞，1≤p2＜∞，1/p1+1/p2＞1/N時整體解的存在性。同樣地，當(dāng)N＞1,1≤p1＜2N，1≤p2＜2N，1/p1+1/p2＞2/N時，本文也得到了解的唯一性的結(jié)論。當(dāng)T∈（0，+∞]，N＞

9、2，1≤p1＜∞，1＜p2＜N，1/p1+1/p2＞3/N時，我們建立了一個不同的近似方程組，使用Besov空間的乘積公式及輸運(yùn)方程的性質(zhì)等得到了（an，θn，un）滿足的與n無關(guān)的能量不等式，最終得到解的整體存在性。進(jìn)一步，當(dāng)T∈（0，+∞]，N＞3，1≤p1，p2≤2N/3滿足1/p1≤1/N+1/p2和4/N≤1/p1+1/p2時，我們也得到了解的唯一性的結(jié)論。
　　在第四章，我們假設(shè)密度ρ僅僅是有正下界的有界函數(shù)，v=0且

10、初值屬于嵌入到Lipschitz空間的Besov空間（包含臨界情況BN/p+1p,1）時，我們先得到了線性的Euler-Boussinesq方程解的存在唯一性，然后建立了如下的近似方程組
　?。?a)tan+1+un·▽an+1=0，(a)tθn+1+un·▽θn+1-an+1△θn+1=0，(a)tun+1+un·▽un+1+an+1▽∏n=θn+1eN其中eN=（0，0，…，1），-div(an+1▽∏n+1)=div(un+