二階退化拋物型方程的系數(shù)反問題的理論和數(shù)值算法研究.pdf

1、本文主要考慮具退化系數(shù)的二階拋物型方程的系數(shù)反演問題，研究在適當(dāng)?shù)母郊訔l件下解的唯一性，最優(yōu)控制問題解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性，以及穩(wěn)定的數(shù)值計(jì)算方法。此類問題在人口預(yù)測(cè)與控制，多孔介質(zhì)流體力學(xué)，以及金融衍生產(chǎn)品定價(jià)等許多應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域有重要意義。與普通的拋物型方程系數(shù)反問題不同，這里的方程在部分邊界存在退化。方程的退化性一方面會(huì)導(dǎo)致在部分邊界可能會(huì)缺少邊界條件，另一方面會(huì)導(dǎo)致方程的解可能沒有好的正則性。另外，由于反問題的不適定性，終端觀

2、測(cè)數(shù)據(jù)的微小擾動(dòng)將會(huì)導(dǎo)致解的巨大變化。
　　 第一章對(duì)本文的數(shù)學(xué)模型及其相關(guān)的研究背景作了簡(jiǎn)要介紹。
　　 第二章中介紹了一些關(guān)于二階線性偏微分方程的定理，引理和預(yù)備知識(shí)。
　　 第三章討論了一個(gè)利用終端觀測(cè)值重構(gòu)二階退化拋物型方程的輻射系數(shù)的反問題。我們首先證明了原問題的解的唯一性，進(jìn)而在最優(yōu)控制理論框架下將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問題，證明了最優(yōu)解的存在性和所滿足的必要條件。由于控制泛函非凸，一般來說沒有唯一性。

3、在假設(shè)T比較小的情況下，我們利用極小元所滿足的必要條件結(jié)合正問題的一些先驗(yàn)估計(jì)結(jié)果，證明了極小元的唯一性和穩(wěn)定性。
　　 第四章主要從數(shù)值分析的角度討論了一個(gè)利用區(qū)域內(nèi)部給定的附加條件重構(gòu)二階退化拋物型方程的一階項(xiàng)系數(shù)的反問題。該問題有明顯的金融背景，在金融衍生品定價(jià)等研究領(lǐng)域具有重要意義。與前而類似，我們先證明了反問題的解的唯一性，這說明了問題的提法是正確的。接下來我們利用有限差分方法給出了正問題的一個(gè)隱式計(jì)算格式。對(duì)于反問題

4、，我們采用預(yù)測(cè)一校驗(yàn)方法構(gòu)造了一個(gè)迭代算法，并針對(duì)其中的數(shù)值微分問題提出了兩種計(jì)算方法。最后，我們進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，數(shù)值結(jié)果表明算法是穩(wěn)定的，且收斂速度很快。
　　 第五章討論了一個(gè)二元泛函極小元的適定性問題，該問題來源于一個(gè)同時(shí)重構(gòu)初值和輻射系數(shù)的逆熱傳導(dǎo)問題。與普通的一元控制問題不同，這里的控制泛函含有兩個(gè)獨(dú)立的未知函數(shù)和兩個(gè)獨(dú)立的正則化參數(shù)。我們先導(dǎo)出了控制泛函極小元所滿足的必要條件，并采用分項(xiàng)估計(jì)的方法，在假設(shè)T比較小的前