幾類具有跳躍非線性項(xiàng)的橢圓型方程解的存在性和多重性.pdf

1、跳躍非線性問(wèn)題源于物理學(xué)中光波和電磁波的研究,反映了振蕩和共振現(xiàn)象,在物理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用.正因如此,使之成為研究者廣泛關(guān)注和重視的課題之一.目前,對(duì)于此類問(wèn)題的研究已有大量結(jié)果,然而,大部分跳躍非線性問(wèn)題局限于研究非線性項(xiàng)漸近極限與特征值之間的關(guān)系,與更廣義的譜-Fucík譜曲線的關(guān)系更能說(shuō)明實(shí)際現(xiàn)象.所以,考慮非線性項(xiàng)的漸近極限落在Fucík譜區(qū)域中的問(wèn)題可以有助于人們更深入理解實(shí)際現(xiàn)象,具有極為重要的實(shí)際意義.

2、　　在本文中,主要以Fucík譜理論為背景,基于非線性泛函分析的基本理論,利用非線性項(xiàng)漸近極限與Fucík譜曲線的相交關(guān)系,綜合運(yùn)用上下解方法、臨界點(diǎn)理論、拓?fù)涠壤碚摗⑿騾^(qū)間上的山路定理,研究了以下四類跳躍非線性問(wèn)題的解:
　　1.對(duì)一類具有跳躍非線性項(xiàng)和Neumann邊值條件的Laplace方程解的研究.考慮非線性項(xiàng)的漸近極限落在由Laplace算子Fucík譜曲線所構(gòu)成的Il(l>2)型和IIl(l≥1)型區(qū)域中的情況.首先,

3、選取由兩對(duì)嚴(yán)格常數(shù)上下解構(gòu)成的序區(qū)間,利用截?cái)嗪瘮?shù)技巧,序區(qū)間上的山路定理,得到至少一個(gè)山路型臨界點(diǎn)的存在性.注意此時(shí)無(wú)法確定山路解是否是常數(shù)解,利用Fucík譜集中臨界群計(jì)算結(jié)果克服了這個(gè)困難,證明了山路解的非常數(shù)性.然后,通過(guò)計(jì)算Morse指數(shù)并結(jié)合拓?fù)涠壤碚?在選取的序區(qū)間上得到至少兩個(gè)非常數(shù)解的存在性.最后,通過(guò)拓?fù)涠壤碚摵蜕舷陆獾椒?得到了變號(hào)解的多重性;利用山路定理得到了一列能量值趨于負(fù)無(wú)窮的臨界點(diǎn).
　　2.對(duì)一

4、類具有跳躍非線性項(xiàng)和Robin邊值條件的Laplace方程解的研究.首先,基于方程存在一個(gè)正上解和一個(gè)負(fù)下解的條件,通過(guò)序區(qū)間上的山路定理和臨界點(diǎn)理論,得到一個(gè)非平凡臨界點(diǎn),并結(jié)合拓?fù)涠壤碚?得到了至少四個(gè)非平凡解的存在性.由于邊值條件是Robin邊值,無(wú)法構(gòu)造多個(gè)不連續(xù)序區(qū)間,為了克服這個(gè)局限性,最后,通過(guò)半序區(qū)間上的山路定理(上解情況),得到了相應(yīng)振蕩方程非平凡解的多重性.
　　3.對(duì)一類具有跳躍非線性項(xiàng)和Dirichlet邊

5、值條件的擬線性問(wèn)題解的研究.由于p-Laplace算子較之Laplace算子具有更復(fù)雜的非線性性質(zhì). p-Laplace算子于空間W1,p0(Ω)中的譜及其性質(zhì),目前人們了解的還不太多.為了克服算子譜的局限性,利用Z2-上同調(diào)指數(shù)所構(gòu)造的譜序列{λk}k≥1,考慮其系數(shù)λk