不可壓流體動(dòng)力學(xué)方程的數(shù)學(xué)方法.pdf

1、本文討論不可壓流體和磁流體動(dòng)力學(xué)方程組的數(shù)學(xué)問(wèn)題.L.Euler于1755年建立了描述理想流體(即無(wú)粘性流體)運(yùn)動(dòng)的Euler方程{()tu+(u·▽)u=-▽p,x∈Rn,t∈[0,+∞),divu=0,(0.1)u(0)=u0(x),divu0=0.Navier于1822年建立了Navier-Stokes方程{()tu+(u·▽)u=v△u-▽p,x∈Rn,t∈[0,+∞),divu=0,(0.2)u(0)=u0(x),divu0=

2、0.用于描述粘性流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律[76].這里v是粘性系數(shù)，Stokes于1845年進(jìn)一步明確了粘性項(xiàng)的物理意義.近兩個(gè)多世紀(jì)以來(lái)，Euler方程和Navier-Stokes方程經(jīng)歷了迅速的發(fā)展，在工程中，特別是船舶工業(yè)、航空航天工業(yè)以及氣象學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.關(guān)于Euler和Navier-Stokes方程，很多學(xué)者從不同的角度對(duì)它們進(jìn)行了大量的研究，研究方法不斷更新、數(shù)學(xué)理論不斷豐富.1933年，Leray提出能量方法和緊致性方法，

3、并且首次得到了Navier-Stokes方程弱解的存在性理論.隨后，許多學(xué)者都致力于Leray-Hopf弱解的正則性理論的研究[8.1962年，Kato和Fujita利用半群的方法，直接在較正則的空間中研究了Navier-Stokes方程的強(qiáng)解[45].1984年，Kato在文章中利用半群的方法得到了Ln(Rn)空間中Navier-Stokes方程的適定性.近年來(lái)，Kato的方法在各種不同的函數(shù)空間中得到了廣泛的應(yīng)用. 本文主要

4、從兩個(gè)方面來(lái)討論不可壓流體動(dòng)力學(xué)方程，第一是在不同函數(shù)空間中討論Cauchy問(wèn)題的適定性；第二是討論弱解的正則性和光滑解的爆破準(zhǔn)則.主要內(nèi)容分為以下幾部分. (Ⅰ).在弱Morrey空間中研究Navier-Stokes方程小解的整體適定性和自相似解的存在性. 作為Morrey空間和Lorentz空間的推廣，提出了弱Morrey空間的概念.它具有許多優(yōu)點(diǎn).首先，它包含了Morrey空間Mqp(Rn)，1≤p≤q＜∞和所有的

5、Lorentz空問(wèn)Lp,q(Rn)，1＜p≤q≤∞.其次，它包含了具有自相似結(jié)構(gòu)的函數(shù).為了在弱Morrey空間中研究Navier-Stokes方程的適定性，以弱Lp空間Lp，∞=Lp*(Rn)為底空間，定義了弱型Morrey空間Mp,λ*(Rn)，0≤λ＜n，1＜p≤∞(特別地，對(duì)于p＞1，Mp,0(Rn)=Lp,∞)，討論了弱Morrey空間的一些基本性質(zhì).接著證明了熱算子U(t)=et△和Calderón-Zygmund奇異積分算

6、子是弱Morrey空間上的有界線(xiàn)性算子，進(jìn)而建立了相應(yīng)于積分方程的非線(xiàn)性項(xiàng)在弱Morrey空間上的雙線(xiàn)性估計(jì).最后，證明對(duì)于適當(dāng)小的初值，Navier-Stokes方程在弱Morrey空間-Mp,n-p*(Rn)上的Cauchy問(wèn)題是全局適定的.進(jìn)一步，還證明了對(duì)于具有自相似結(jié)構(gòu)的初值，自相似解的存在唯一性. (Ⅱ).研究不可壓磁流體方程組的Cauchy問(wèn)題{ut-△u+(u·▽)u-(b·▽)b-▽p=0bt-△b+(u·▽)

7、b-(b·▽)u=0divu=0,divb=0,(0.3)u(x,0)=u0(x),b(x,0)=b0(x),這里x∈Rn，t≥0，n≥2是空間維數(shù)，u=u(x，t)=(u1(x，t)，…，un(x，t))，b=b(x，t)=(b1(x，t)，…，bn(x,t))和p=p(x，t)分別是磁流體在(x，t)處的速度場(chǎng)、磁場(chǎng)以及總壓力，u0(x)和b0(x)是流體速度場(chǎng)和磁場(chǎng)的初值，并且滿(mǎn)足自由散度條件divu0=0，divb0=0.利用分

8、數(shù)次積分算子和Haxdy-Littlewood極大算子的Lp有界性以及空間的分解技術(shù)，對(duì)和積分方程非線(xiàn)性項(xiàng)對(duì)應(yīng)的雙線(xiàn)性估計(jì)給出了一個(gè)簡(jiǎn)潔漂亮的證明.當(dāng)初值在BMO-1(Rn)空間的?！?u0，b0)‖BMO-1適當(dāng)小時(shí)，證明了磁流體方程組的溫和解是全局存在的.與此同時(shí)還證明了Leray-Hopf弱解在空間C([0，∞)；BMO-1(Rn))中的唯一性.特別地，對(duì)bmo-1(Rn)空間中的小初值，得到了磁流體方程組溫和解的局部存在性以及在

9、C([0，T)；bmo-1(Rn))空間中的唯一性.這意味在更大的函數(shù)空間中建立了磁流體方程組的適定性，改進(jìn)了以前的適定性結(jié)果.而且，在第三章引理3.3.1中，雙線(xiàn)性估計(jì)的證明方法與Koch和Tataru在[50]中關(guān)于Navier-Stokes方程的證明方法不同，更加簡(jiǎn)潔. (Ⅲ).研究不可壓理想磁流體方程組的Cauchy問(wèn)題{ut+(u·▽)u-(b·▽)b-▽?duì)?0bt+(u·▽)b-(b·▽)u=0divu=0,divb

10、=0,(0.4)u(x,0)=u0(x),b(x,0)=b0(x).這里u(x，t)=(u1(x，t)，u2(x，t)，…，un(x，t))是流體的速度場(chǎng)，b(x，t)=(b1(x，t)，b2(x，t)，…，bn(x，t))是磁場(chǎng)，π(x，t)=p(x，t)+1/2|b(x，t)|2是總壓力，x∈Rn，t≥0.u0(x)和b0(x)是流體速度場(chǎng)和磁場(chǎng)的初值，并且滿(mǎn)足自由散度條件divu0=0，divb0=0.我們?cè)谂R界Besov空間Bp

11、,11+n/p(Rn)，1≤p≤∞中研究了(0.4)的局部適定性.眾所周知，對(duì)于理想磁流體方程組，由于它不具有耗散項(xiàng)，因此，建立它的適定性更加困難.與此同時(shí)，由于流體速度場(chǎng)和磁場(chǎng)之間的耦合作用，與Euler方程相比，有些物理量的性質(zhì)發(fā)生了變化.例如，即使對(duì)二維情形，沿流線(xiàn)流體的旋度場(chǎng)也不能保持不變.所以，已有的方法不再有效.利用Littlewood-Paley二進(jìn)制分解和Bony的二次微局部分解技術(shù)，得到了非線(xiàn)性項(xiàng)和壓力項(xiàng)在Besov空

12、間Bp,11+n/p(Rn)和Bp,1n/p(Rn)，1≤p≤∞中的估計(jì).通過(guò)構(gòu)造一個(gè)逼近解序列(um(x，t)，bm(x，t))，m=1，2，…，充分利用流體速度場(chǎng)和磁場(chǎng)之間的耦合作用，證明了逼近解(um(x，t),bm(x，t))，m=1，2，…序列在臨界Besov空間Bp,11+n/p(Rn)，1≤p≤∞中是一致有界的.進(jìn)一步，證明了逼近解序列(um(x，t)，bm(x，t))，m=1，2，…在Besov空間Bp,1n/p(Rn)

13、，1≤p≤∞中是一個(gè)Cauch序列.利用部分壓縮映射原理，證明了如果初值屬于臨界Besov空間Bp,11+n/p(Rn)，1≤p≤∞，則局部解在該空間中存在唯一.該結(jié)果改進(jìn)了理想磁流體方程組適定性的已有結(jié)果. (Ⅳ).研究不可壓磁流體方程組光滑解的爆破準(zhǔn)則. 首先，巧妙利用流體速度場(chǎng)與磁場(chǎng)的耦合作用，我們得到了不可壓磁流體方程組的光滑解在BMO空間的爆破準(zhǔn)則.設(shè)(u(x，t)，b(x，t))是(0，T)上的光滑解，如果流

14、體速度場(chǎng)與磁場(chǎng)滿(mǎn)足(u(x，t)，b(x，t))∈L2(0，T；BMO)，或者速度場(chǎng)與磁場(chǎng)的旋度向量滿(mǎn)足(rotu(x，t)，rotb(x，t))∈L1(0，T；BMO)，或者它們的形變張量滿(mǎn)足(Defu(x，t)，Defb(x，t))∈L1(0，T；BMO)，則(u(x，t)，b(x，t))的存在時(shí)間可以超過(guò)t=T. 其次，借助于Besov空間中的對(duì)數(shù)Sobolev不等式‖f(x)‖∞≤C‖f(x)‖*B∞,∞0，log++‖

15、f(x)‖Bp,q3/‖f(x)‖*B∞,∞0.(0.5)這里f(x)∈Bp，qs(Rn)，s＞n/p，p，q∈[1，∞].其中l(wèi)og++(x)是飽和的對(duì)數(shù)函數(shù)，我們得到了不可壓磁流體方程組在Besov空間*B∞，∞0(Rn)中光滑解的爆破準(zhǔn)則.即如果(u(x，t),b(x，t))是磁流體方程組的光滑解，且滿(mǎn)足∫0T‖(rotu(·,t),rotb(·，t))‖*B∞,∞0dt＜∞；(0.6)則存在T'＞T，使得光滑解(u(x，t)，b