幾何糾纏和量子臨界現(xiàn)象.pdf

1、近年來(lái)，計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力的不斷提高和數(shù)值模擬算法的迅速發(fā)展，為研究量子多體系統(tǒng)提供了強(qiáng)有力的工具。這也使得量子多體系統(tǒng)的數(shù)值模擬得到了空前的發(fā)展，為我們研究量子相變和量子臨界現(xiàn)象奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
　　本論文主要研究一維有限量子系統(tǒng)的量子臨界行為，在無(wú)限時(shí)間演化塊算法(infinite time-evolving block decimation algorithm，簡(jiǎn)稱(chēng)iTEBD)[1]的基礎(chǔ)上我們開(kāi)發(fā)了一種高效地模擬一維有限量子

2、系統(tǒng)的算法[2]。除此之外，基于單點(diǎn)基態(tài)保真度理論[3-6]我們還開(kāi)發(fā)了一種用來(lái)求解單點(diǎn)幾何糾纏的高效算法[7]。根據(jù)單點(diǎn)幾何糾纏的有限尺寸修正項(xiàng)系數(shù)與邊界共形場(chǎng)論中Affleck-Ludwig g因子之間關(guān)系[8]，我們得到了邊界共形場(chǎng)論中很難求解的Affleck-Ludwig g因子。
　　本論文中第一章是緒論部分，主要介紹了量子相變的概念、數(shù)值模擬算法的歷史、量子臨界現(xiàn)象以及研究量子臨界現(xiàn)象常用的工具（保真度、約化保真度、普

3、適序參量和糾纏等等）。
　　第二章詳細(xì)介紹了兩種新開(kāi)發(fā)的算法，其中一種算法是用于模擬具有周期性邊界條件一維有限量子系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù)的算法。另一種算法是用于模擬基態(tài)波函數(shù)的單點(diǎn)幾何糾纏的算法。模擬基態(tài)波函數(shù)的第一個(gè)算法的代價(jià)正比于pχ，3其中，p是計(jì)算能量過(guò)程中保留的轉(zhuǎn)移矩陣本征矢的個(gè)數(shù)，χ是輔助空間各鍵的截?cái)嗑S數(shù)。用于模擬單點(diǎn)幾何糾纏的第二個(gè)算法的代價(jià)也是正比于pχ，這里的p3是求解最大保真度過(guò)程中的轉(zhuǎn)移矩陣Eφψ的前p個(gè)最大本征

4、值。
　　第三章，首先，我們對(duì)不同的量子模型分別選取了不同的工具定出了量子系統(tǒng)的臨界點(diǎn)。有些模型是直接根據(jù)一維無(wú)限量子系統(tǒng)的單點(diǎn)保真度、約化保真度定出的臨界點(diǎn)；有些模型是先根據(jù)馮諾依曼熵定出有限尺寸下的贗相變點(diǎn)，然后把贗相變點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)尺寸外推到無(wú)窮大得到的熱力學(xué)極限下的量子臨界點(diǎn)。無(wú)論哪種方式我們定出的臨界點(diǎn)的位置與已有結(jié)果均是一致的。其次，在臨界點(diǎn)處，我們還確定了臨界量子系統(tǒng)所屬的普適類(lèi)。眾所周知，對(duì)屬于同一量子普適類(lèi)的臨界模型，

5、可以用同一套臨界指數(shù)來(lái)刻畫(huà)其臨界行為。所以我們可以通過(guò)計(jì)算同一普適類(lèi)下簡(jiǎn)單的量子模型來(lái)理解復(fù)雜模型的量子臨界行為。
　　第四章，我們研究了四個(gè)量子伊辛普適類(lèi)的自旋模型，分別是：鐵磁-反鐵磁海森堡模型，量子伊辛模型，奇偶鍵上耦合系數(shù)不同的自旋12的伊辛鏈和XYX模型。我們計(jì)算了這些模型的基態(tài)波函數(shù)的單點(diǎn)幾何糾纏，并根據(jù)單點(diǎn)幾何糾纏有限尺寸修正項(xiàng)系數(shù)與共形場(chǎng)論中的Affleck-Ludwig g因子的關(guān)系，求出了Affleck-Lud

6、wig g因子，其結(jié)果與量子伊辛普適類(lèi)Affleck-Ludwig g因子的精確值是完全一致的。模擬結(jié)果證明了伊辛普適類(lèi)模型單點(diǎn)幾何糾纏的有限尺寸修正項(xiàng)系數(shù)是普適的。
　　第五章，我們模擬了兩個(gè)三態(tài) Potts普適類(lèi)的量子臨界模型的單點(diǎn)幾何糾纏。同時(shí)，我們還計(jì)算了它們所對(duì)應(yīng)的Affleck-Ludwig g因子，它們與精確值吻合的非常好，其相對(duì)誤差均小于3.110?×。這也證明了三態(tài)Potts普適類(lèi)下單點(diǎn)幾何糾纏2的有限尺寸修正項(xiàng)

7、系數(shù)是普適的。
　　第六章，對(duì)于自旋為1的量子臨界XXZ模型和自旋為1的量子臨界XXZD模型，在臨界相[9-10]，我們根據(jù)單點(diǎn)幾何糾纏的有限尺寸修正項(xiàng)系數(shù)與Luttinger液體的緊致半徑R之間的關(guān)系求出了這兩個(gè)臨界量子模型的緊致半徑R。而緊致半徑R的值在共形場(chǎng)論中是很難定出的。除此之外，我們還討論了把單點(diǎn)幾何糾纏擴(kuò)展到高維的可行性方案。
　　另外，我們還關(guān)注了矩陣乘積平移不變性與Affleck-Ludwig g因子之間的