Landweber迭代方法解決非線性不適定問題的收斂性分析.pdf

1、應用Landweber正則化方法解決線性不適定問題
　　 時，Landweber，F(xiàn)riedman，Bialy將方程改寫成下列形式
　　 其迭代格式為：
　　 該迭代法實際上是求解二次泛函極小值的以步長為a的最速下降法。
　　 對于迭代解xm，δ到精確解x的收斂性與收斂速度，有如下結論：
　　 (3)在用Landweber正則化方法解決線性問題時，如果對x有更強的限制，迭代序列最快以的速度收斂到精

2、確解。
　　 將上述方法推廣到非線性不適定問題時，由于非線性問題的不適定性，方程的解往往不連續(xù)依賴于右端數(shù)據(jù)y，或者對于微小的擾動數(shù)據(jù)yδ，方程的近似解與精確解之間會相差甚遠，因此得到的解會毫無意義。
　　 目前對于Landweber正則化在非線性不適定問題中的研究，都是通過對初始條件加以限定或者在特殊的Hilbert空間中討論其收斂性與收斂速度。本文總結了前人所做的研究，比較Landweber正則化在線性問題與非線性問

3、題中的應用，并在此基礎上，用一種帶參數(shù)的Landweber迭代方法解決該問題。
　　 在本文中，我們都做如下假設：
　　 (1)F(·)局部一致有界；
　　 下面我們寫出改進的針對非線性問題的Landweber迭代形式：
　　 其中，a是參數(shù)，這是與[13]中不同的地方。
　　 如上假設，足以保證至少內(nèi)迭代局部收斂到方程F(x)=y的解。在假設條件下，得到了如下Landweber正則化的收斂性結論

4、：
　　 定理：令x*是非線性不適定問題F(x)=y的一個解，擾動數(shù)據(jù)滿足
　　 得到，即擾動迭代在k*(δ)步后停止，則在假設條件下，應用
　　 解決該問題，則迭代解
　　 由此，我們證明了用改進的方法用來解決非線性不適定問題是可行的，在擾動數(shù)據(jù)誤差界δ下，同樣得到收斂階為O(δ1/2)限制條件相對較弱(η-1).
　　 本文大致結構如下，在第一章中我們介紹了不適定問題和Landweber正則法