幾類多項式微分系統(tǒng)的定性分析.pdf

1、該文主要研究第一、第三臨界情形下的幾類特殊的四次多項式微分系統(tǒng)的全局拓撲結(jié)構(gòu),以及一類余維2的高次退化的平面多項式系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)與分岔.在文獻[1]中,主要考慮了第一臨界情形下的系統(tǒng)x = a<,03>y<'3>y = y + b<,30>x<'3> + b<,21>x<'2>y + b<,12>xy<'2> + b<,03>y<'3>(1)及第三臨界情形下的系統(tǒng) x = y + b<,30>x<'3> + b<,21>x<'2>y +

2、 b<,12>xy<'2> + b<,03>y<'3> y = a<,03>y<'3>(2)的全局結(jié)構(gòu),并畫出了它們所有可能的全局相圖.(在(1),(2)中a<,03>,b<,30>≠0)該文第二章在此基礎(chǔ)上,考慮四次系統(tǒng),并加上了部分三次項,使系統(tǒng)(1),(2)變成x=by<'4>y= y + a<,1>x<'3> + a<,2>x<'2>y + a<,3>xy<'2> + a<,4>y<'3> + a<,6>x<'3>y + a<,

3、7>x<'2>y<'2> + a<,8>xy<'3> + a<,9>y<'4>(3)x=by<'4>y = y + a<,2>x<'2>y + a<,3>xy<'2> + a<,4>y<'3> + a<,5>x<'4> + a<,6>x<'3>y + a<,7>x<'2>y<'2> + a<,8>xy<'3> + a<,9>y<'4>(4)以及x = y + a<,2>x<'2>y + a<,3>xy<'2> + a<,4>y<'3>

4、+ a<,5>x<'4> + a<,6>x<'3>y + a<,7>x<'2>y<'2> + a<,8>xy<'3> + a<,9>y<'4>y=by<'4>(5)這樣,由于等號右端多項式項數(shù)的增加,相應(yīng)地,討論系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)的難度增大,而系統(tǒng)(3),(4),(5)都只有唯一的有限遠奇點,都是鞍結(jié)點,利用奇點指數(shù)理論,可知均不存在極限環(huán).該文在討論每個系統(tǒng)的所有的無窮遠奇點及唯一的有限遠奇點的基礎(chǔ)上,畫出了它們所有的全局相圖,分別有43

5、種,12種和7種.主要利用Poincare變換及判斷函數(shù)f(u)(或f(u))的根的情況來討論系統(tǒng)的無窮遠奇點.該文第三章討論了一類余維2的高次退化的平面多項式系統(tǒng)x = y + P(x, y)y = Q(x, y)的全局結(jié)構(gòu)與分岔.這里p(x,y),Q(x,y)是x,y的最低次數(shù)為5的多項式.主要通過定性的分析,討論系統(tǒng)隨參數(shù)變化而產(chǎn)生的奇點分岔、局部分岔、全局分岔而得出系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu),得到參數(shù)平面上向量場的軌線分布圖.首先利用正規(guī)形

6、理論將上述向量場簡化為y = μ<,1>x +μ<,2>y + αx<'n> + βx<'n-1>y, αβ ≠ 0其中n=5.對n=2或n=3的情況,Bogdanov、Takens、Carr等先后進行了局部分岔研究,而后王明淑、羅定軍、李繼彬、王現(xiàn)等人對n=3進行了大范圍分岔研究.對n=5,陳芳躍利用Picard-Fuchs方程法,得到了同宿軌的分岔曲線.該章在對α=-1的情形進行分析時,對于研究系統(tǒng)的奇點分岔、閉軌分岔時,采用可研究