抽象空間中非線性微分方程邊值問題的正解.pdf

1、隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，在物理學(xué)、化學(xué)、數(shù)學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、控制論等科學(xué)領(lǐng)域出現(xiàn)了各種各樣的非線性問題，這些非線性問題日益引起了人們的廣泛重視.而非線性泛函分析為解決這些問題提供了富有成效的理論工具.非線性泛函分析是既有深刻理論又有廣泛應(yīng)用的研究學(xué)科，它以數(shù)學(xué)和自然科學(xué)中出現(xiàn)的非線性問題為背景，建立處理非線性問題的若干一般性理論和方法，而且能處理實(shí)際問題所對應(yīng)的各種非線性積分方程，微分方程和偏微分方程中發(fā)揮著不可替代的作

2、用.非線性分析已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要研究方向之一.而非線性泛函分析是非線性分析中的一個重要分支，因其能很好的解釋自然界中的各種各樣的自然現(xiàn)象受到了國內(nèi)外數(shù)學(xué)界和自然科學(xué)界的重視.非線性微分方程邊值問題源于應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、控制論等各種應(yīng)用學(xué)科中，是目前非線性泛函分析中研究最為活躍的領(lǐng)域之一，而抽象空間中的非線性微分方程邊值問題又是近年來討論的熱點(diǎn)，是目前微分方程研究中的一個十分重要的領(lǐng)域. 本文利用錐理論、不動點(diǎn)理論、不動點(diǎn)指數(shù)

3、理論，研究了幾類非線性微分方程邊值問題的正解并把得到的主要結(jié)果應(yīng)用到非線性微分方程的邊值問題. 本文共分為三章： 在第一章中，我們討論了Banach空間中半直線上一階非線性微分方程組邊值問題x'(t)+α1(t)x(t)=f1(t,x(t),y(t))+g1(t,x(t),y(t)),t≠tk,t∈R+,y'(t)+α2(t)y(t)=f2(t，x(t),y(t))+g2(t，x(t)，y(t))，t≠tk，t∈R+，(

4、1.1.1)△X(tk)=I1，k(x(tk)),△y(tk)=I2,k(tk)),k=1,2，…，x(∞)=x(0)，y(∞)=y(0)，其中αi(t)∈L(R+)，t∈R+=[0，+∞)，0< t1

5、理并結(jié)合錐理論中的有關(guān)知識，得到BVP(1.1.1)正解的存在性，本文改進(jìn)和推廣了文[10，13，15]中的主要結(jié)果(見注1.3.1-注1.3.4)，并把得到的主要結(jié)果應(yīng)用到一階無窮脈沖微分方程組的邊值問題上. 在第二章中，我們討論了Banach空間中二階脈沖微分方程兩點(diǎn)邊值問題正解的存在性-x"(t)=α1(t)f1(t, x(t),y(t))+ b1(t)g1(t, x(t),y(t), t≠tk, t∈J,-y"(t)=α

6、2(t)f2(t, x(t),y(t))+ b2(t)g2(t, x(t),y(t)), t≠tk,t∈J,-△x'(tk)=I1,k(x(tk)),-△y'(tk)=I2,k(y(tk)),k=1,2,…,m,其中J=[0，1]，αi(t)，bi(t)：J→[0，+∞)，i=1，2，是連續(xù)的，而且Ii，k∈C[E，E]，fi，gi∈C(J×E×E,E)(i=1,2),△x(tk)=x(tk+)-x(tk-),△y(tk)=y(tk+)

7、-y(tk-)，k=1，2，…，m.我們利用錐上的不動點(diǎn)指數(shù)理論得到BVP(2.1.1)正解的存在性，本文改進(jìn)和推廣了文[18，19，20]中的主要結(jié)果(見注2.3.1-注2.3.4). 在第三章中，我們利用錐上的不動點(diǎn)定理討論了如下Banach空間中n階m點(diǎn)邊值問題正解的存在性u(n)(t)+f(t，u(t))=θ，0

8、)，(3.1.1)其中n≥2，m>2，0<η1<η2<…<ηm-2<1，αi>0(i=1，2，…，m-2)且∑m-2 i=1αiηn-1<1，J=[0，1]，f∈C[J×P，P].最近，文[30]和[31]分別利用不動點(diǎn)指數(shù)和范數(shù)型的錐拉伸和壓縮不動點(diǎn)定理，在f：[0，+∞)→[0，+∞)(不含變量t)和E為實(shí)空間情況下，給出了多點(diǎn)邊BVP(3.1.1)存在一個正解的充分條件，本文的目的是在Banach空間中研究一般的多點(diǎn)BVP(3.1