一類(lèi)非線性脈沖積微分方程及其最優(yōu)控制.pdf

1、微分方程作為一種工具在純理論科學(xué)、應(yīng)用科學(xué)、工程技術(shù)領(lǐng)域及其他許多領(lǐng)域都已得到廣泛應(yīng)用。我們知道這些系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都可以用微分方程來(lái)進(jìn)行描述。這些方程可以采取多種多樣的形式，比如常微分方程、泛函微分方程、積分微分方程、偏微分方程等。對(duì)于常微分方程的研究已經(jīng)比較成熟。對(duì)于偏微分方程等的研究，由于其變量的復(fù)雜性，研究起來(lái)比較困難。因此，我們?cè)噲D在一定的條件下，將偏微分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為抽象空間(如Banach空間)中的常微分方程問(wèn)題進(jìn)行研究。

2、這就是半群理論立足的基礎(chǔ)。半群研究的對(duì)象主要是以時(shí)間為參變量的發(fā)展方程的有關(guān)問(wèn)題。比如研究發(fā)展方程解的存在性、唯一性、解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴(lài)性和正則性等。由偏微分方程(或與常微分方程耦和)描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(如熱力學(xué)及波動(dòng)傳導(dǎo)、化學(xué)中的擴(kuò)散、彈性體的振動(dòng)、各種場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)模型等等)，再提出使積分型泛函性能指標(biāo)取極大或極小的條件泛函極值問(wèn)題(如時(shí)間，能量，二次型誤差最小等等)，從而產(chǎn)生了分布參數(shù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題。有些反映擴(kuò)散與遷移現(xiàn)象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，必

3、須用積分方程來(lái)解決，例如中子遷移理論中的一些問(wèn)題等，從而產(chǎn)生了對(duì)積分方程的研究。此外，在對(duì)于一些現(xiàn)象的研究中，比如說(shuō)人口在受到一些突變的條件如收成影響、疾病原因、移民因素，自然災(zāi)害等，研究人口的變化問(wèn)題，這時(shí)就要考慮到這些突變條件所產(chǎn)生的瞬時(shí)擾動(dòng)的問(wèn)題，從而產(chǎn)生了對(duì)受控的非線性脈沖發(fā)展系統(tǒng)的研究。從前面的闡述可知，無(wú)論是在實(shí)際意義上還是在理論上，對(duì)于非線性脈沖積微分方程及受控系統(tǒng)的研究都是有必要和有意義的。 在有限維空間中對(duì)于脈

4、沖微分方程的研究，已有豐富的結(jié)果?？蓞㈤哣.Lakshmikantham，Tao.Yang等人的書(shū)(見(jiàn)[3]，[4])及相關(guān)的研究論文。例如可查閱Guo和Liu、Liu和willms的論文(見(jiàn)[7]，[21])。 自從上世紀(jì)末，人們開(kāi)始討論無(wú)限維空間中的脈沖微分方程。特別是Ahmed討論了由脈沖微分方程所決定的系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題(見(jiàn)[10]，[11])。Xiang,Wei等人也繼續(xù)對(duì)半線性和強(qiáng)非線性系統(tǒng)及最優(yōu)控制進(jìn)行了研究，并取

5、得了一系列的結(jié)果。(見(jiàn)[14]，[15]，[16]，[17]) 雖然在文獻(xiàn)中有大量的文章研究有限維空間和無(wú)限維空間中的積微分方程，但對(duì)于帶無(wú)界算子的非線性脈沖積微分方程特別是最優(yōu)控制問(wèn)題并未進(jìn)行系統(tǒng)的研究。本論文就是對(duì)這樣一類(lèi)積微分方程進(jìn)行研究。討論其解的存在唯一性，更重要的是考慮了由非線性脈沖方程所決定的系統(tǒng)的Bolza問(wèn)題，給出了最優(yōu)控制的存在性并導(dǎo)出了最優(yōu)控制存在的必要條件，這是最優(yōu)控制理論中核心而又有相當(dāng)難度的問(wèn)題。

6、 本文主要是利用半群理論研究一類(lèi)受控非線性脈沖積微分方程及其最優(yōu)控制問(wèn)題。 (一)考慮Banach空間中非線性脈沖積微分方程： (Ⅰ){(x)(t)=Ax(t)+F(t，x)(t),(Gx)(t)，t∈(0，T]\Dx(0)=x0△x(ti)=Ji(x(tj)),i=1,2,3……n其中：D={t1，t2，……tn}，0＜t1＜t2＜……＜tn A是一個(gè)一般的C0半群{S(t))；t≥0}的無(wú)窮小生成元，G是

7、一個(gè)非線性積分算子(Gx)(t)=∫t0k(t，τ)g(τ，x(τ))dτ且△x(ti)=△x(tj+0)-△x(ti-0)=△x(ti+0)-△x(ti)表示x(t)在ti處的跳躍，Ji決定了在時(shí)間ti處的躍度。 我們研究系統(tǒng)(Ⅰ)解的存在唯一性，解的正則性等。給系統(tǒng)(Ⅰ)賦予一定的條件，比如f、g滿足局部Lipschz條件及線性增長(zhǎng)條件等，我們討論了該系統(tǒng)解的存在唯一性，解的正則性。 (二)考慮其對(duì)應(yīng)的受控系統(tǒng)的最優(yōu)

8、控制問(wèn)題。 容許控制集：Uad()Lp(I，Y)，Uad是非空，有界，閉和凸的。 狀態(tài)方程： (Ⅱ){(x)(t)=Ax(t)+F(t，x(t)，(Gx)(t)+B(t)u(t)，t∈(0，T]\Dx(0)=x0△x(t)=Ji(x(ti))，i=1,2，……n 目標(biāo)泛函： J(u)=∫T0l(t，xu(t)，u(t))dt+Ψ(xu(T))Bolza問(wèn)題(P)：找一個(gè)u0∈Uad，使得(A)u∈