橢圓及拋物最優(yōu)控制問題有限元方法的超收斂性質(zhì).pdf

1、最優(yōu)控制問題在現(xiàn)實生活中廣泛存在,如溫度控制問題、空氣污染控制問題、Stokes流控制問題和電氣化學(xué)機器設(shè)計問題等等.因此研究這類問題的高效的數(shù)值計算方法就顯得非常重要.目前已有很多的數(shù)值計算方法可以用來求解最優(yōu)控制問題,而有限元方法是研究最廣泛的一種,關(guān)于這方面的研究已有很多的工作.在已有的文獻中,大多是研究最優(yōu)控制問題有限元方法的先驗和后驗誤差估計,而研究其超收斂性質(zhì)的文章比較少,尤其是對非線性最優(yōu)控制問題超收斂性質(zhì)的研究.而超收斂

2、分析在偏微分方程的數(shù)值求解中非常重要.
　　本文中,我們研究了幾類橢圓與拋物最優(yōu)控制問題有限元方法的超收斂性質(zhì),并通過數(shù)值算例驗證了我們的理論結(jié)果.本文的主要工作如下:
　　第一部分,我們研究半線性橢圓型最優(yōu)控制問題.首先我們將求解泛函極小問題轉(zhuǎn)變成求解狀態(tài)方程,對偶狀態(tài)方程和變分不等式組成的聯(lián)立系統(tǒng).由于控制變量與狀態(tài)變量和對偶狀態(tài)變量具有不同的正則性,我們需要采用不同的有限元空間進行逼近.對控制變量我們采用分片常數(shù)函數(shù)來

3、逼近,對狀態(tài)變量和對偶狀態(tài)變量我們采用分片線性函數(shù)來逼近.通過對半線性橢圓最優(yōu)控制問題的一些合理假設(shè),并引入中間變量將誤差分解成幾部分來考慮,我們得到了半線性橢圓二次泛函最優(yōu)控制問題有限元方法的超收斂性質(zhì),并給出了控制變量和狀態(tài)變量超收斂結(jié)果的一些應(yīng)用.最后,我們將半線性橢圓二次泛函最優(yōu)控制問題的結(jié)果推廣到了一般凸泛函的情形.對于半線性橢圓二次泛函以及一般凸泛函最優(yōu)控制問題,我們都構(gòu)造了相應(yīng)的數(shù)值算例來驗證我們的理論結(jié)果.
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