多線性算子及其交換子的加權(quán)不等式.pdf

1、Calderón和Zygmund在上世紀(jì)五十年代創(chuàng)立了奇異積分算子理論,發(fā)展了Rn上Fourier分析的實(shí)方法。.此基礎(chǔ)上,經(jīng)過近幾十年的研究,調(diào)和分析理論不斷發(fā)展,先后建立了加權(quán)理論、多線性理論、齊型空間與非齊型空間上的調(diào)和分析等理論,并被廣泛應(yīng)用于偏微分方程、多復(fù)變函數(shù)、位勢理論、算子理論、非線性分析等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中。Hardy-Littlewood極大算子M、奇異積分算子T及分?jǐn)?shù)次積分算子Iα及其交換子是調(diào)和分析中最重要的幾類算子,主

2、要探討它們在Lebesgue空間Lp(Rn),Lp,∞(Rn),Hardy空間Hp(Rn)以及其它函數(shù)空間上的有界性問題。Muckenhoupt在1972年研究了Hardy-Littlewood極大算子M在加權(quán)空間Lp(ω)(>1)上有界時權(quán)函數(shù)ω的特征為權(quán)函數(shù)ω滿足Ap條件,Hunt,Muckenhoupt與Wheeden,Muckenhoupt與Wheeden,Coifman與Fefferman分別給出了Hilbert變換、分?jǐn)?shù)次極

3、大函數(shù)、分?jǐn)?shù)次積分及奇異積分算子的加權(quán)模不等式,1982年Sawyer研究了Hardy-Littlewood極大算子M的雙權(quán)不等式.研究各種算子的加權(quán)不等式逐漸形成了系統(tǒng)的理論,成為調(diào)和分析理論中的重要組成部分。多線性Calderón-Zygmund算子是在上世紀(jì)七十年代Coifman和Meyer開始研究的.由于多線性奇異積分算子在偏微分方程研究中的廣泛應(yīng)用,多線性理論近年來成為調(diào)和分析研究的熱點(diǎn).2002年Grafakos和Torre

4、s對多線性Calderón-zygmund算子做了系統(tǒng)的研究,2009年,Lemer、Ombrosi、Pérez,Torres和Trujillo-Gonzáldez給出了多線性Hardy-Littlewood極大算予以及與多線性Calderón-Zygmund算子相應(yīng)的多重權(quán)Ap的定義,建立了多線性算子的加權(quán)理論,解決了Grafakos和Tortes提出的關(guān)于多線性算子加權(quán)的公開問題,極大地推動了多線性算子加權(quán)理論的研究。此后,Moen

5、、Chen與Xue、Pradolini等人對多線性分?jǐn)?shù)次極大算子與多線性分?jǐn)?shù)次積分算子及其交換子得到了各種形式的加權(quán)不等式,Bernardis、Hartzstein與Pradolini.研究了多線性位勢型算子及其交換子的加權(quán)不等式。調(diào)和分析多線性算子的加權(quán)理論目前已取得許多成果,與線性算子的加權(quán)理論相比還不完善,還有很多問題需要研究。本文探討了四方面的問題：一是多線性極大算子和多線性分?jǐn)?shù)次極大算子的雙權(quán)不等式;二是多線性分?jǐn)?shù)次積分算子與

6、BMO函數(shù)構(gòu)成的交換子的加權(quán)有界性;三是多線性分?jǐn)?shù)次積分算子與BMO函數(shù)構(gòu)成的迭代型交換子的加權(quán)有界性;四是極大多線性Calderón-Zygmund奇異積分算子的加權(quán)有界性。
　　本研究分為六個部分：第一章中,我們概述了調(diào)和分析多線性算子理論的發(fā)展歷史與研究現(xiàn)狀,給出了本文用到的一些預(yù)備知識,如記號、基本概念和重要的引理、定理等。第二章中,我們給出了多線性極大算子和多線性分?jǐn)?shù)次極大算子的雙權(quán)強(qiáng)型和弱型不等式的Sawyer型充分條

7、件.這些結(jié)果推廣了Sawyer定理和其它一些著名結(jié)果。第三章中,我們給出了多線性分?jǐn)?shù)次積分算子與BMO函數(shù)構(gòu)成的交換子的LlogL型加權(quán)端點(diǎn)估計(jì),推廣了Cruz-Uribe與Fiorcnza關(guān)于分?jǐn)?shù)次積分算子交換子的相關(guān)結(jié)果。此外還給出了此交換子的加權(quán)強(qiáng)型不等式,改進(jìn)了Chen與Xue的結(jié)果。第四章中,對多線性分?jǐn)?shù)次積分算子與BMO函數(shù)構(gòu)成的迭代型交換予,我們研究了雙權(quán)強(qiáng)型有界性,給出了此迭代型交換子的Feffcrman-Phong型不