雙曲守恒律方程的高階半拉格朗日方法.pdf

1、半拉格朗日（Semi-Lagrangian）方法廣泛用來計算Vlasov方程和模擬天氣預(yù)報業(yè)務(wù)，此方法將拉格朗日方法（Lagrangian）和歐拉方法（Eulerian）有效地融合在一起，同時具備了這兩種方法的優(yōu)點：一方面，經(jīng)過改進，Semi-Lagrangian方法可以具有高階精度；另一方面，Semi-Lagrangian方法不必受CFL條件的限制，在數(shù)值模擬時可以大量節(jié)省計算的時間。此外，加權(quán)本質(zhì)無振蕩格式（WENO）作為一種具有高

2、階精度的方法，同時具有無振蕩的性質(zhì)。正是由于高階Semi-Lagrangian方法既能達到高階精確，又能有效地處理振蕩，本文針對守恒律方程提出了幾種高階的Semi-Lagrangian方法，并且通過數(shù)值模擬實驗檢驗了方法的高階精度和無振蕩的性質(zhì)，進一步豐富了Semi-Lagrangian方法求解守恒律方程的理論知識。
　　首先，提出了一維雙曲守恒律方程的高階Semi-Lagrangian有限體積（FV）方法。采用向左的4階RK方法

3、計算特征曲線的初值問題，并利用特征曲線進行不同時間層的函數(shù)值的等價轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后的函數(shù)值可由WENO方法重構(gòu)來增加空間上的精度。由于沿著特征曲線的軌跡，初始點和終點的位置關(guān)系是變化的，故文中給出了適用于不同情形的WENO重構(gòu)。進一步，通過精度檢測和對無振蕩性質(zhì)的分析，驗證了算法的高精度和有效捕捉間斷點的性質(zhì)。
　　其次，提出了二維雙曲守恒律方程的高階Semi-Lagrangian有限差分（FD）方法。利用Legendre多項式構(gòu)造了

4、新的WENO方法，該方法與普通的WENO格式有同樣的模板和精度，但不需采用積分計算去實現(xiàn)整個重構(gòu)過程，節(jié)省了計算時間，更適合重構(gòu)文中的不在網(wǎng)格點上的數(shù)值流通量。除此之外，文中給出的一系列二維守恒律方程的數(shù)值試驗，驗證了該方法的高階精度和處理間斷點的能力。
　　最后，提出了5階映射緊致Semi-Lagrangian FD方法。根據(jù)特征速度的符號，本文構(gòu)造了不同的WENO重構(gòu)方法，并將方法做了推廣。由于采用常見的非線性權(quán)的WENO方法

5、會造成極值點附近的精度下降，因此本文介紹了映射的加權(quán)處理這類問題。在數(shù)值模擬時，利用精度分析和無振蕩性質(zhì)的分析，驗證了5階映射緊致Semi-Lagrangian FD方法能達到5階精度，同時能維持捕捉間斷點的能力。
　　綜上所述，基于高階Semi-Lagrangian方法在求解雙曲守恒律方程時的高階精度及高分辨率等特性，本文依次提出了一維標量方程、Euler方程和帶源項淺水方程的高階Semi-Lagrangian FV方法，二維雙