對角有序幻方的存在性.pdf

1、組合設計理論是離散數(shù)學的一個重要分支，是一門研究將事物按特定要求進行安排并討論其性質的學問.中國四千多年前關于“河圖洛書”的美麗傳說，其中的“洛書”就是一個簡單的組合設計—3階幻方.幻方在哲理思想、智力開發(fā)、美術設計、對科學的啟迪、美學價值等方面有廣泛應用.對角有序幻方是幻方研究中的一個新課題.本文研究對角有序幻方的構造及存在性.
　　本文n表示正整數(shù).
　　幻方M=(mi，j)，0≤i，j≤n-1，是一個由n2個非負整數(shù)構

2、成的n×n方陣且具有性質:每行、每列及兩條對角線上n個數(shù)的和都相同，這個和稱為幻和，n稱為M的階.如果M的項是0，1，…，n2-1，那么M稱為是標準的.
　　一個n階幻方M=(mi，j)稱為對角有序的(diagonallyordered)(記作DOMS(n))，如果它的主對角線和副對角線從左到右穿過時是嚴格遞增的，即
　　mi,i＜mi+1,i+1,mn-1-i，i＜mn-1-(i+1),i+1,0≤i＜n-1.
　　

3、C.Gomes，M.Sellmann在2004年引入DOMS(n)，并證明了當1≤n≤19且n≠2時，存在DOMS(n)，DOMS(2)不存在.本文探討對任意n，DOMS(n)的存在性.
　　本文共分為五章:
　　第一章介紹幻方的發(fā)展史，給出了幻方、對角有序幻方、帶洞正交拉丁方等定義，并列出了本文得到的一些主要結果.
　　第二章利用帶洞正交拉丁方，用填洞的方法及計算機搜索證明了n≥20時DOMS(n)存在.從而，徹底解

4、決了DOMS(n)的存在性.
　　第三章引入強冪等自正交行拉丁幻陣(記作SISORLMA(n))用于構造非基本有理DOMS（n）.并證明了如果存在SISORLMA(n)，那么非基本有理DOMS(n)存在.利用帶洞自正交拉丁方，用填洞的方法及計算機搜索解決了n為奇數(shù)時SISORLMA(n)的存在性;并通過v→v+4構造，解決了n為偶數(shù)時SISORLMA(n)的存在性.因此，證明了當n（∈）{2，3}時，存在SISORLMA(n)，當

5、n∈{2，3}時，SISORLMA(n)不存在.從而，證明了當n（∈）{2，3}時，非基本有理DOMS(n)存在，并證明了當n∈{2，3}時非基本有理DOMS(n)不存在.另外，也證明了當n≠2時，有理DOMS(n)存在，有理DOMS(2)不存在.
　　第四章為了解決基本DOMS(n)和基本對稱DOMS(n)的存在性，分別引入了對角有序正交弱對角拉丁方(記作DOOWDLS(n))和強對稱對角有序正交弱對角拉丁方（記作SSDOOWD

6、LS(n))，并證明了如果存在(SS)DOOWDLS(n)，那么基本（對稱）DOMS(n)存在，還給出了(SS)DOOWDLS(n)的一個積構造.證明了當n≡0，1，3(mod4)時，存在SSDOOWDLS(n);當n≡2(mod4)時，SSDOOWDLS(n)不存在.從而，證明了當n≡0，1，3(mod4)時，基本對稱DOMS(n)存在;用反證法證明了當n≡2(mod4)時，基本對稱DOMS(n)不存在.最后，證明了n（∈）{2，6，