分?jǐn)?shù)階微分方程的高精度數(shù)值算法研究.pdf

1、近年來，越來越多領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型需要引入分?jǐn)?shù)階微積分這一新的數(shù)學(xué)工具進(jìn)行描述,如材料、金融、力學(xué)、生物系統(tǒng)、信號(hào)與圖象處理等。但是，和整數(shù)階微分方程相比，分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法較少，已有的一些數(shù)值解法的精度較低，因而，研究分?jǐn)?shù)階微分方程的高精度數(shù)值解法非常必要。
　　本文針對(duì)分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波動(dòng)方程和分?jǐn)?shù)階微分方程組，給出了兩種精度較高的數(shù)值算法，同時(shí)降低了計(jì)算量。全文組織結(jié)構(gòu)如下：
　　第一章介紹分?jǐn)?shù)階微積分的一些基本定義和性質(zhì)

2、。
　　第二章基于時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波動(dòng)方程的等價(jià)積分形式，采用分?jǐn)?shù)階梯形法和Crank-Nicolson方法，對(duì)時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波動(dòng)方程設(shè)計(jì)了一個(gè)有限差分格式，此格式在時(shí)間方向和空間方向都具有二階精度，并且計(jì)算穩(wěn)定。數(shù)值算例驗(yàn)證了該格式的精度和效果。
　　第三章在處理帶有Caputo導(dǎo)數(shù)算子的分?jǐn)?shù)階微分方程組的初值問題時(shí)，首先將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的Volterra積分方程組，通過低階方法求得一個(gè)初始的近似解，導(dǎo)出殘差方程和誤差方程