一類水波方程-BCL方程組的適定性.pdf

1、復(fù)旦大學(xué)博士學(xué)位論文一類水波方程-BCL方程組的適定性姓名：胡軍其申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：博士專業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：洪家興20070301摘 要在本文的第一章我們將介紹淺水波理論的一些基礎(chǔ)知識(shí)，并且會(huì)給出B C L 方程組的導(dǎo)出方法，主要用到漸進(jìn)展開的技巧?？梢钥闯?，在一維情形下它們正是B o n a - C h e m S a u t 方程組。其間，我們會(huì)簡(jiǎn)略的介紹一下這些水波方程的研究進(jìn)展。第二章將討論2 個(gè)空間變量的B C L 方程組孤立

2、波解。M ．C h e n 給出1 個(gè)空間變量的B C L 方程組的孤立波解，我們采用類似的方法。首先通過行波約化將方程化為一個(gè)非線性非齊次常微分方程組，在垂直傳播方向?yàn)榉€(wěn)態(tài)解的前提下，借助于M ，C h e n 的方法給出這個(gè)方程組的一個(gè)孤立波解，從中我們可以看出色散項(xiàng)的顯著作用。在垂直傳播方向?yàn)榉欠€(wěn)態(tài)解的情形下，這個(gè)常微分方程組變得非常的復(fù)雜，這個(gè)問題有待進(jìn)一步研究。第三章將討論2 個(gè)空間變量的B C L 方程組具有守恒律所需要的條

3、件。并在此基礎(chǔ)上我們用解的局部延拓方法討論這個(gè)方程組的整體適定性，給出解的正則性。由于守恒律并不是正定的，我們只能在適當(dāng)小的初值情形下給出適定性。第四章轉(zhuǎn)而研究2 個(gè)空間變量的B C L 方程組在沒有守恒律情形下的適定性問題。然而由于線性問題衰減不夠，我們考慮有粘性的B C L 方程組。我們使用了雙曲方程中常用的把方程組對(duì)角化的辦法，給出這個(gè)方程組的積分形式；然后給出算子必要的估計(jì)，其中我們使用了擬微分算子、調(diào)和分析等技術(shù)，類似的方法可

4、以用于同類型的方程。最后構(gòu)造一個(gè)函數(shù)空間，使得在小初值條件下這個(gè)方程組在這個(gè)空間中有解，這里使用了小初值整體迭代的技巧。當(dāng)然為了克服導(dǎo)數(shù)損失，需要把頻譜空間分位高中低頻，得出更精細(xì)的估計(jì)。第五章我們給出退化情形下B C L 方程組的適定性，由于退化引起了解的存在空間的復(fù)雜化，這一章是第四章的延續(xù)。在第五章中我們使用b o o t s t r a p 方法給出前幾章所研究方程組C a u c h y 問題解的正則性。關(guān)鍵詞水波方程，擬微分