變分不等式與互補(bǔ)問題的新算法.pdf

1、變分不等式和互補(bǔ)問題廣泛應(yīng)用于闡述和研究物理學(xué)、力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、最優(yōu)控制等數(shù)學(xué)模型以及交通運(yùn)輸中出現(xiàn)的各種平衡模型。因此研究其快速數(shù)值解法是很有意義的。近幾十年來,人們已經(jīng)提出了許多的有效的算法。在本文中,我們討論了幾類變分不等式和互補(bǔ)問題的有效的新算法。 對于大規(guī)?？茖W(xué)與工程問題,并行計(jì)算是一種很重要的手段。同步并行計(jì)算的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是每一個(gè)子問題都可以由并行計(jì)算機(jī)分配相應(yīng)的一個(gè)處理器進(jìn)行并行處理,因而較串行算法,大大加快計(jì)算速度。

2、但是,在同步計(jì)算過程中,每個(gè)同步點(diǎn)處必須等待其他所有處理器的信息。而異步并行計(jì)算可以克服這個(gè)缺點(diǎn),它可以不等待其他處理器提供的新信息而繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算,節(jié)省了“等待”時(shí)間。因此研究并行計(jì)算,尤其是異步并行計(jì)算是很有意義的。多重分裂方法是研究并行求解線性或非線性方程組的重要的數(shù)值計(jì)算方法。其優(yōu)點(diǎn)在于,每個(gè)處理器只需計(jì)算與加權(quán)矩陣非零對角元對應(yīng)的那些分量。從這個(gè)意義上來說,它能將原來一個(gè)大規(guī)模問題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)小規(guī)模問題進(jìn)行并行求解?；诙嘀胤至训?/p>

3、加權(quán)加性Schwarz方法(簡稱為多重分裂Schwarz方法)是多重分裂方法的推廣,其收斂性要好于多重分裂方法。非穩(wěn)態(tài)多重分裂方法是多重分裂方法的發(fā)展。其主要思想是,每個(gè)處理器有限次迭代計(jì)算相應(yīng)的子問題,每次迭代均以上次的計(jì)算結(jié)果作為下一次迭代計(jì)算的初始值。數(shù)值例子表明這類方法比標(biāo)準(zhǔn)多重分裂方法具有更好的數(shù)值效果。本文將這類方法推廣到求解互補(bǔ)問題,包括線性互補(bǔ)問題,對角凸非線性互補(bǔ)問題及有限維仿射雙障礙問題。從M-陣到H-陣,我們提出了

4、一系列的同步與異步多重分裂Schwarz方法和非穩(wěn)態(tài)多重分裂方法,并討論了它們的收斂性。相應(yīng)的數(shù)值例子表明這些算法是有效的。 區(qū)域分解算法和多重網(wǎng)格算法是求解變分不等式問題的兩類重要的算法。我們提出了一類求解帶非線性源項(xiàng)的變分不等式問題的兩水平Schwarz算法。這種方法基于有效集策略,將計(jì)算區(qū)域分為相應(yīng)于障礙子問題和線性子問題的子區(qū)域,然后在子區(qū)域上分別求解相應(yīng)的子問題。我們得到了算法的有限步收斂性結(jié)論。針對較一般的T-單調(diào)算子障礙問

5、題,我們討論了一類廣義Schwarz算法。這類算法的重要特點(diǎn)是子問題根據(jù)Robin邊界條件進(jìn)行耦合。數(shù)值算例表明,廣義Schwarz算法在選取適當(dāng)?shù)膮?shù)ω_i的情況下,比經(jīng)典的Schwarz算法更快地收斂于問題的解。新近發(fā)展的瀑布型多重網(wǎng)格法是一類有效的新算法。這類算法變分不等式與互補(bǔ)問題的新算法不需要粗網(wǎng)格校正,在粗網(wǎng)格層上要求較多的迭代計(jì)算,而在細(xì)格層上只需較少的迭代計(jì)算.數(shù)值例子表明該算法具有很好的計(jì)算效果.我們研究了求解帶非線性