隨機(jī)微分方程指數(shù)Euler方法的收斂性和穩(wěn)定性.pdf

1、隨機(jī)微分方程的發(fā)展已經(jīng)有60余年了，從20世紀(jì)40年代日本數(shù)學(xué)家伊藤清創(chuàng)立了隨機(jī)微積分的理論后，隨機(jī)微分方程有了迅速的發(fā)展，并在經(jīng)濟(jì)、生物、物理、通信、自動(dòng)化等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。但在很長(zhǎng)的段時(shí)間內(nèi)，計(jì)算機(jī)處理能力不夠強(qiáng)大，使得在分析實(shí)際問(wèn)題時(shí)為了簡(jiǎn)化系統(tǒng)都不考慮隨機(jī)因素的影響。然而，近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和計(jì)算方法的快速發(fā)展，人們已經(jīng)構(gòu)造出了很多計(jì)算隨機(jī)微分方程的數(shù)值方法，這就意味著我們可以利用計(jì)算機(jī)程序?qū)﹄S機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行模擬求解。因?yàn)樗?/p>

2、研究問(wèn)題本身的復(fù)雜性，一般很難求得方程解析解的表達(dá)式，所以數(shù)值方法的構(gòu)造就顯得尤為重要。本文就基于此，構(gòu)造了指數(shù)Euler方法的數(shù)值格式，并把它應(yīng)用于隨機(jī)微分方程中，然后主要討論了此數(shù)值方法的收斂性與穩(wěn)定性。
　　本文在隨機(jī)微分方程的基本理論背景出發(fā)，首先給出了幾種經(jīng)常用到的數(shù)值方法，又介紹了常微分中的指數(shù)Runge-Kutta方法，得到了它的一階形式即指數(shù)Euler方法。然后證明了指數(shù)Euler方法應(yīng)用于半線性隨機(jī)微分方程的強(qiáng)收

3、斂階為0.5階，并且用一個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了指數(shù)Euler方法的收斂階。接著分析了指數(shù)Euler的穩(wěn)定性（均方穩(wěn)定性，幾乎必然穩(wěn)定性，p階矩穩(wěn)定性等等），解出了指數(shù)Euler用于線性標(biāo)量隨機(jī)微分方程的均方穩(wěn)定區(qū)域，并且發(fā)現(xiàn)指數(shù)Euler方法的均方穩(wěn)定區(qū)域包含了EM方法的均方穩(wěn)定區(qū)域，并且包含了線性方程解析解的均方穩(wěn)定區(qū)域。接著給出了一個(gè)數(shù)值試驗(yàn)，在EM方法不穩(wěn)定的情形下，指數(shù)Euler方法依然能較好地保持了方程的穩(wěn)定性。并且給出了一個(gè)指數(shù)E