幾類非線性方程的行波解.pdf

1、最近幾年,人們對(duì)非線性偏微分方程的顯式行波解問題越來越感興趣.這些方程都有它們自身的物理、化學(xué)和生物等方面的背景[1,2],行波解是反應(yīng)擴(kuò)散方程的一個(gè)重要解的類型,而且能很好地模擬方程本身的物理、化學(xué)和生物現(xiàn)象,給我們解決實(shí)際問題帶來很大的幫助,例如:激波,神經(jīng)脈沖,各種化學(xué)反應(yīng)等.所以尋找偏微分方程的顯式行波解有著重要的意義.王明亮在文獻(xiàn)[10,12,13]中用齊次平衡法找到了一些方程的孤立波解,范恩貴在文獻(xiàn)[4,5,7,6,9,11

2、,28]中采用Riccati方程也得出了一些方程的行波解.但王明亮的齊次平衡法涉及到繁瑣的微分和別的代數(shù)運(yùn)算,而且它仍然只能求出孤立解,而范恩貴運(yùn)用Riccati方程的方法是對(duì)王明亮的HBM方法的一種改善,它得到的行波解有三類:孤立解、有理解和三角周期解.本文主要在王明亮和范恩貴所描述方法的基礎(chǔ)上,將范恩貴的Riccati方程方法推廣為廣義的Riccati方程的形式來研究非線性發(fā)展方程的行波解,我們的方法將得到更多類型的行波解.本文主要

3、對(duì)范恩貴在文獻(xiàn)[28]中的熱傳導(dǎo)方程進(jìn)行了推廣,得出了耦合熱傳導(dǎo)方程組和廣義熱傳導(dǎo)方程的行波解.同時(shí)本文還對(duì)王明亮在文獻(xiàn)[25,27]中出現(xiàn)的三類方程組(即:變形的Boussinesq方程組,長(zhǎng)水波的近似方程組,2+1維色散長(zhǎng)波方程組)的行波解進(jìn)行了推廣.在推廣的過程中,由于計(jì)算上的原因,我們僅對(duì)耦合的熱傳導(dǎo)方程組用Riccati方程,其余的模型我們都是用的廣義Riccati方程的形式.這樣我們推廣了雙曲正切函數(shù)方法和范恩貴在文獻(xiàn)[28

4、]中的方法,求出了方程的多種顯式行波解.同時(shí),我們還用不同的方法找到了廣義Boussinesq方程和廣義Fisher方程的行波解.對(duì)于廣義Boussinesq方程,Zhaosheng Feng在文獻(xiàn)[14]中利用雙曲正切函數(shù)法找到了6階和8階廣義Boussinesq方程的孤立波解.而對(duì)有些系統(tǒng)來說,除了雙曲正切型孤立解外,還會(huì)有正切函數(shù)型行波解,但Feng的方法卻難以構(gòu)造出來.本文用Feng在文獻(xiàn)[14]中類似的構(gòu)造方法,得到了6階和8