二階擬線性各向異性退化拋物--雙曲型方程的適定性研究.pdf

1、本文主要研究各向異性的退化拋物-雙曲型方程柯西問(wèn)題的適定性.這類方程可以用來(lái)描述許多現(xiàn)象,例如多孔介質(zhì)中的對(duì)流-擴(kuò)散過(guò)程,沉降-固化過(guò)程,生物存自然界中的擴(kuò)散過(guò)程,金融決策等.由于這類方程在實(shí)際中具有廣泛和重要的應(yīng)用,許多數(shù)學(xué)家很早就對(duì)這個(gè)方程進(jìn)行了研究,多數(shù)的工作主要是針對(duì)各向同性的情形,而且研究的解函數(shù)空間是BV空間.對(duì)于各向異性的情形,最早由Chen-Perthame[21]在L1空間中研究了系數(shù)不顯含時(shí)間和空間變量情形的動(dòng)力學(xué)解

2、的適定性.本文是在他們成果的基礎(chǔ)上,作了進(jìn)一步的推廣,主要對(duì)系數(shù)依賴于未知函數(shù)及時(shí)間變量的各向異性退化拋物-雙曲型方程柯西問(wèn)題解的存在唯一性作了討論,主要包括下列內(nèi)容:
　　 第一部分,我們介紹幾個(gè)數(shù)學(xué)模型,主要包括多孔介質(zhì)中污染物遷移的對(duì)流-彌散方程,非線性熱傳輸方程,金融決策方程等.它們都可以用退化拋物-雙曲型方程來(lái)描述.通過(guò)這幾個(gè)模型,我們可以看到這個(gè)方程在實(shí)際應(yīng)用中具有不同的表現(xiàn)形式,系數(shù)可以僅僅依賴于未知函數(shù),也可以依

3、賴于未知函數(shù)及自變量x或t.系數(shù)依賴于t的方程是我們要研究的重點(diǎn).
　　 第二部分,我們用kuznetsov誤差估計(jì)的方法證明了一個(gè)簡(jiǎn)單的退化拋物-雙曲型方程柯西問(wèn)題熵解的唯一性,通過(guò)對(duì)這個(gè)方程的研究,我們看清了Kuznetsov方法可行的關(guān)鍵之處在于引入了拋物耗散測(cè)度項(xiàng),這是與雙曲型方程的不同之處.證明的方法還可以應(yīng)用到一般形式的退化拋物-雙曲型方程中去.
　　 第三部分,我們研究系數(shù)顯含時(shí)間t的退化拋物-雙曲型方程柯

4、西問(wèn)題解的存在唯一性.我們用動(dòng)力學(xué)方法證明了解的唯一性.為此,我們首先推導(dǎo)了一般形式的退化拋物-雙曲型方程的動(dòng)力學(xué)公式,給出了動(dòng)力學(xué)解的定義.對(duì)于熵解,我們還證明了動(dòng)力學(xué)公式與熵不等式的等價(jià)性,從而說(shuō)明了動(dòng)力學(xué)解屬于L∞(Rn×R+)時(shí)與熵解是等價(jià)的.我們用粘性消去法證明解的存在性,給出了粘性方程的光滑解的先驗(yàn)估計(jì),得到它在C([0,+∞)；L1(Rn))中強(qiáng)收斂.利用該收斂性,可以證明該極限函數(shù)是動(dòng)力學(xué)解或熵解.
　　 第四部