帶擴(kuò)散和交叉擴(kuò)散的生態(tài)數(shù)學(xué)模型的研究.pdf

1、本文研究這樣的一類捕食模型：捕食者不但有模型中被捕食者作為食物，而且還有其它固定的自然食物源.我們主要研究帶齊次Neumann邊界條件的捕食模型和帶混合邊界條件的捕食模型.對于帶齊次Neumann邊界條件的捕食模型，因?yàn)樽詳U(kuò)散常常不能產(chǎn)生非常數(shù)正穩(wěn)態(tài)解，所以，我們在模型中引進(jìn)了一種交叉擴(kuò)散，這種交叉擴(kuò)散描述了由于被捕食者的群體保護(hù)作用，捕食者避開大群的食物(被捕食者).這種交叉擴(kuò)散現(xiàn)象在許多生態(tài)環(huán)境中出現(xiàn).本文主要使用度理論證明了這些捕

2、食模型在一定條件下存在非常數(shù)正穩(wěn)態(tài)解.同時(shí)，根據(jù)分歧理論，我們也研究了部分穩(wěn)態(tài)模型的非常數(shù)正解的局部或全局分歧，局部穩(wěn)定性以及漸近性.本文共分八章，具體如下： 第一章概述生態(tài)數(shù)學(xué)模型的背景、研究成果和進(jìn)展.第二章介紹一些預(yù)備知識(shí)，我們將使用這些知識(shí)證明本文的捕食模型正穩(wěn)態(tài)解的存在性和非存在性. 第三章研究一個(gè)帶自擴(kuò)散和混合邊界條件的捕食模型.在這個(gè)模型中，捕食者的增長率cu/γ+u2表示當(dāng)食物密度u較小時(shí)它近似于cu/γ

3、，而當(dāng)食物u的密度較大時(shí)捕食者的增長被抑制；并且被捕食者帶齊次Neumann邊界條件，而捕食者帶齊次Robin邊界條件.首先，我們證明了：如果b＞d2λ1，那么，穩(wěn)態(tài)問題存在正解的充分必要條件是a＞μ1(mθb)d1.同時(shí)，我們也討論了當(dāng)b＜λ1d2時(shí)捕食模型正穩(wěn)態(tài)解的存在性和非存在性.其次，我們獲得了正穩(wěn)態(tài)解的局部穩(wěn)定性和唯一性.最后，討論了當(dāng)擴(kuò)散參數(shù)充分大時(shí)穩(wěn)態(tài)問題和捕食模型的極限情況. 第四章繼續(xù)研究第三章的捕食模型，但是

4、，互換了邊界條件.我們獲得了與第三章類似的結(jié)果.在這種邊界條件下捕食模型存在正穩(wěn)態(tài)解的充要條件是a＞mb+d1λ1. 第五章研究一個(gè)帶交叉擴(kuò)散的Lotka-Volterra捕食模型.我們證明了如果當(dāng)0＜m1m2＜1時(shí)m1b＜a＜2m1b/1-m1m2或當(dāng)m1m2≥1時(shí)a＞m1b使得m1～v＞～u，其中(～u，～u)是捕食模型的常數(shù)正解，并且d1＜m1～v-～u/μ1，d4＞1/m1～v-～u，那么，存在適當(dāng)?shù)?d1，d2，d3，

5、d4)使得捕食模型存在非常數(shù)正穩(wěn)態(tài)解.這說明i大的交叉擴(kuò)散參數(shù)d4能產(chǎn)生非常數(shù)正穩(wěn)態(tài)模型.其次，我們也證明了如果上述a，d1和d4的條件有一個(gè)不成立，那么，捕食模型沒有從常數(shù)正解分歧出來的非常數(shù)正穩(wěn)態(tài)解. 第六章研究一個(gè)帶交叉擴(kuò)散和轉(zhuǎn)化率為m2u/γ+u的捕食模型的非常數(shù)正穩(wěn)態(tài)解的存在性和非存在性.我們得到與第五章類似的結(jié)果.這時(shí)a的條件為m1b＜a＜(m1b+m1m2-γ)+√(m1b+m1m2-γ)2+4γm1b，d1和d4

6、的要求與第五章的形式一致.我們的結(jié)果表示在這個(gè)模型中大的交叉擴(kuò)散參數(shù)d4也能產(chǎn)生非常數(shù)共存的穩(wěn)態(tài)模型. 第七章研究一個(gè)帶自擴(kuò)散的比率依賴的捕食模型.我們證明了存在一個(gè)依賴于b的正數(shù)a0(b)使得：如果b＜m1和a0(b)≤a＜m1，那么，存在適當(dāng)?shù)?d1，d2)使得捕食模型有非常數(shù)正穩(wěn)態(tài)解.而當(dāng)a＞m1時(shí)捕食模型沒有從常數(shù)正解分歧出來的非常數(shù)正穩(wěn)態(tài)解. 第八章是在第七章的模型的第二方程中引進(jìn)交叉擴(kuò)散.并且證明了存在正常數(shù)