State-Dependent型非線性脈沖微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究.pdf

1、本文考慮State-Depeadent型脈沖微分系統(tǒng){x'=f(t,x),t≠τk(x).△=Ik(t,x),t=τk(x),(1)x(t0)=x0,t0≥0,k=1,2,3,….研究在脈沖時(shí)刻不固定的情況下系統(tǒng)關(guān)于兩個(gè)測度的穩(wěn)定性性質(zhì). 脈沖現(xiàn)象作為一種瞬時(shí)突變現(xiàn)象在科技領(lǐng)域的實(shí)際問題中是普遍存在的.在工程、控制、通信、生物、經(jīng)濟(jì)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等科技領(lǐng)域中的許多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型往往可歸結(jié)為脈沖微分系統(tǒng).鑒于它在現(xiàn)代科技領(lǐng)域中有著

2、重要的應(yīng)用價(jià)值.從九十年代起對其研究引起重視，逐漸形成了非線性微分系統(tǒng)的研究熱點(diǎn).并取得了重要進(jìn)展[1-10,13,15,19-33]，值得注意的是，這些研究成果大都側(cè)重于固定時(shí)刻脈沖微分系統(tǒng)的研究. 本文所考慮的State-Dependent型脈沖微分系統(tǒng)包含固定時(shí)刻脈沖微分系統(tǒng)這一特殊情況.具有更廣泛的應(yīng)用背景.由于脈沖依賴于系統(tǒng)軌線狀態(tài)，致使系統(tǒng)軌線的運(yùn)動(dòng)形念更為復(fù)雜，對其研究比對固定時(shí)刻脈沖情況研究有本質(zhì)困難，從而對它的

3、研究比較緩慢.目前關(guān)于這類系統(tǒng)的研究結(jié)果多集中在解存在性間題的研究方面[1,10,22-24].值得指出的是.文獻(xiàn)[1]對穩(wěn)定性問題作了初步的研究，在對Lyapunov函數(shù)限制較強(qiáng)的條件下得出了幾個(gè)直接判定結(jié)果.文[5-9]中給出了此類型脈沖微分系統(tǒng)穩(wěn)定性的比較結(jié)果，但這些比較結(jié)果都是限制在解曲線碰撞同一脈沖面僅一次的條件下并以另一State-Dependent型脈沖微分系統(tǒng)做為比較系統(tǒng)的. 鑒于上述應(yīng)用價(jià)值和理論意義，我們在本

4、文中研究State-Dependent型脈沖微分系統(tǒng)關(guān)于兩個(gè)測度的穩(wěn)定性性質(zhì).所謂兩個(gè)測度穩(wěn)定性是用兩個(gè)測度函數(shù)分別描述初值和解的狀態(tài)的穩(wěn)定性，其通過測度函數(shù)具體形式的不同選取，統(tǒng)一了許多不同種類的穩(wěn)定性，例如常規(guī)意義下的零解穩(wěn)定性、集合穩(wěn)定性、不變集的穩(wěn)定性、周期解的軌道穩(wěn)定性等(文獻(xiàn)[11]對兩個(gè)測度的穩(wěn)定性作了系統(tǒng)的研究).本文具體內(nèi)容分為兩章. 在第一章第3節(jié)中，我們用比較方法研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.通過與常微分系統(tǒng)作比較，

5、利用向量Lyapunov函數(shù)與微分不等式建立了比較原理，然后將其應(yīng)用于穩(wěn)定性的研究中得到了兩個(gè)測度穩(wěn)定性判定的比較結(jié)果，需要指出的是本節(jié)中的比較原理允許解曲線碰撞同一脈沖面有限多次.在本章第4節(jié)中，假設(shè)系統(tǒng)(1)的任意解撞擊同一脈沖面僅一次，通過構(gòu)造新的集合，我們對Lyapunov函數(shù)的要求放寬，利用直接方法得到了一系列穩(wěn)定性判定準(zhǔn)則.在這些直接判定結(jié)果中，Lyapunov函數(shù)在脈沖面之間沿系統(tǒng)軌線可以增加可以減少，甚至可以在這兩個(gè)脈沖

6、面間增加而在另兩個(gè)脈沖面間減少.與此同時(shí)，給出例子說明脈沖對系統(tǒng)的影響及驗(yàn)證定理的有效性. 在第二章中，我們利用變分測度函數(shù)方法，通過不帶脈沖的非擾動(dòng)系統(tǒng)的性質(zhì)來研究具依賴狀態(tài)脈沖的擾動(dòng)系統(tǒng)的性質(zhì).眾所周知，變分Lyapunov方法是研究非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種行之有效的方法[14-16，21]，它將變參數(shù)方法與Lyapunov第二方法相結(jié)合，通過廣義參數(shù)變分公式建立起擾動(dòng)系統(tǒng)與非擾動(dòng)系統(tǒng)解之間的關(guān)系，進(jìn)而利用非擾動(dòng)系統(tǒng)解的性質(zhì)來

7、研究擾動(dòng)系統(tǒng)解的性質(zhì).在許多實(shí)際問題的研究中(如常規(guī)意義下零解的穩(wěn)定性)，測度函數(shù)在本質(zhì)上已具有Lyapunov函數(shù)的特征，因此我們可將變分Lyapunov方法中的Lyapunov函數(shù)代之為測度函數(shù)，這便產(chǎn)生了本章中所引入的變分測度函數(shù)方法的基本思想.利用這種思想，我們通過兩個(gè)測度函數(shù)間的關(guān)系及非擾動(dòng)系統(tǒng)解的性質(zhì)得出了一系列State-Dependent型脈沖微分系統(tǒng)關(guān)于兩個(gè)測度的穩(wěn)定性與不穩(wěn)定性的判定結(jié)果，并給出例子說明定理的應(yīng)用性及