非Lipschitz倒向隨機微分方程及其相關(guān)問題研究.pdf

1、形如下式的-般的非線性倒向隨機微分方程(簡記為BSDE)由Pardoux和Peng[97]在1990年給出.其中g(shù)(t,y,z)稱為BSDE(1.1)的系數(shù)或生成元,(T,ξ)稱為BSDE(1.1)的終端條件.眾所周知,當g(t,y,z)關(guān)于y,z滿足一致Lipschitz條件,并且ξ和(g(t,0,0))t∈[0,T]平方可積時,方程(1.1)存在唯-適應解.從那時起,有關(guān)BSDE的基礎(chǔ)理論研究和應用研究如雨后春筍般地大量涌現(xiàn).首先當

2、然是關(guān)于BSDE基本理論的研究,其中包括在更復雜的形式下(如帶跳的,正倒向的,帶反射的,由一般鞅驅(qū)動的等等)以及/或者當系數(shù)滿足比Lipschitz條件更弱的假設(shè)下建立BSDE(1.1)的解的存在唯一性結(jié)果.具體可參考Pardoux-Peng[101],EI Karoui[41],Lepeltier-SanMartin[79；80],Kobylanski[77],Briand-Hu[10；11],Chen[27],Jia[62；63；6

3、5],Briand-Delyon-Pardoux-Hu-Stoica[9],Mao[92],Hu-Peng[59],Hu-Yong[60],Peng-Wu[115],Ma-Protter-Yong[88],Ma-Yong[89],Pardoux-Tang[99],Peng-Shi[116],Wu[121；122；124],EI Karoui-Kapoudjian-Pardoux-Peng-Quenez[45],Kobylanski-Le

4、peltier-Quenez-Torres[78],Matoussi[93],Hamadène-Lepeltier-Matoussi[49],Hamadbène[51],Hamadène-Lepeltier-Wu[49],Lepeltier-Matoussi-Xu[81]等等.這一部分還包括關(guān)于BSDE(1.1)各種重要性質(zhì)的研究(如比較定理,逆比較定理,生成元的表示定理,Jessen不等式等).具體可參考Peng[104；105],E

5、1 Karoui-Peng-Quenez[42],Briand-Coquet-Hu-Mémin-Peng[8],Coquet-Hu-Mdémin-Peng[31],Cao-Yan[14],Liu-Ren[85],Wu[123],Chen-Kulperger-Jiang[20；21],Jiang[66；67；68；70；71],Jia[65]等等.與此同時,隨著不斷深入的研究,人們發(fā)現(xiàn)BSDE理論不但成為了概率論隨機分析領(lǐng)域一個非常重要的

6、研究分支,更為可喜的是這一理論還可以被廣泛地應用于許多其他領(lǐng)域,比如隨機最優(yōu)控制(如Peng[104；106；108；109],Hamadène-Lepeltier-Peng[52],Hamadène-Lepeltier-Wu[49],Hamadène[50],Lim-Zhou[82],Kohlmann-Tang[74；75],Kohlmann-Zhou[76],Liu-Peng[87]等),金融數(shù)學(如E1 Karoui-Peng-Q

7、uenez[42],Karoui-Quenez[44],Chen-Epstein[18],Dufli-Epstein[38],Cvi-tanid-Karatzas[34],Yong[125]等),偏微分方程(如Peng[102],Pardoux[95],E1 Karoui-Kapoudjian-Pardoux-Peng-Quenez[45],Pardoux-Peng[101],Barles-Buckdahn-Pardoux[4],Par

8、doux-Tang[99],Buckdahn-Hu[13],Kobylanski[77]等),非線性期望(如Peng[105；107；111；112],Briand-Coquet-Hu-Mémin-Peng[8],Coquet-Hu-Mdémin-Peng[29],Chen-Peng[26],Chen-Epstein[18],Chen-Chen-Davison[17],Chen-Kulperger-Jiang[20；21],Chen-w

9、ang[24],Jimag[66],Rosazza[118]等).而且在處理許多問題的時候BSDE的理論與技術(shù)都成為了非常好用的研究利器,可以起到事半功倍的作用(如大家熟知的著名的Black-Scholes公式就是BSDE(1.1)的線性形式).
　　 本文主要致力于BSDE基礎(chǔ)理論的研究,首先是關(guān)于BSDE解的存在唯一性問題的研究.這一理論研究已有的工作可大致分為兩個方面:一維情形和多維情形.對于一維情形,比較定理起了決定性的

10、作用.Kobylanski[77],Lepeltier-San Maxtin[79；80]等工作都屬于這種情形.在多維情形下,由于沒有比較定理,一般需要用到單調(diào)性假設(shè)或者其他一些假設(shè),比如Briand-Carmona[7]和Mao[92]的工作.然而,無論是一維情形還是多維情形,研究者-般在非Lipschitz條件中都不考慮時間變量t.本文中,我們給出了一種含有時間變量t的非Lipshcitz條件,在此假設(shè)下證明了BSDE(1.1)解的

11、存在唯-性.并以此為理論基礎(chǔ)討論了一些相關(guān)問題包括BSDE的單調(diào)極限定理和g-上鞅分解定理,生成元的表示定理以及Hilber空間中方程解的存在唯一性問題.
　　 本文主要包括以下4章內(nèi)容:
　　 第一章非Lipschitz的BSDE適應解的存在唯-性；
　　 第二章BSDE的單調(diào)極限定理和g-上鞅分解定理；
　　 第三章BSDE生成元的表示定理及其應用:
　　 第四章非Lipschitz條件下倒向

12、半線性隨機發(fā)展方程的適應解.
　　 (Ⅰ)在第一章,我們假設(shè)g滿足如下非Lipschitz條件:
　　 (Ⅱ)在第二章中,在非Lipschitz框架下我們研究了BSDE的單調(diào)極限定理和g-上鞅的分解定理主要包含以下內(nèi)容.
　　 (Ⅲ)在第三章中,在非Lipschitz框架下,我們證明了BSDE生成元的表示定理.利用此表示定理,我們還證明了g-期望的唯-性道理和BSDE的-般逆比較定理.用
　　 (Ⅳ)在第