兩類非線性發(fā)展方程的初值問(wèn)題.pdf

1、本文考慮了兩類非線性發(fā)展方程的初值問(wèn)題-分?jǐn)?shù)階拋物守恒律方程的Cauchy問(wèn)題和壓差方程的Riemann問(wèn)題，主要運(yùn)用了時(shí)頻分解的辦法來(lái)得到分?jǐn)?shù)階拋物守恒律方程的解的衰減估計(jì)、用Green函數(shù)的方法來(lái)得到拋物守恒律方程的解的逐點(diǎn)估計(jì)，及特征分解的方法來(lái)得到壓差方程的解的整體存在性。
　　第一章為緒言。在這里，我們回顧了分?jǐn)?shù)階拋物守恒律方程及研究歷史、壓差方程的來(lái)源及相關(guān)工作，并陳述了將要研究的方程的主要結(jié)論。
　　第二章中，

2、我們研究了分?jǐn)?shù)階的拋物守恒律方程。首先在多維空間中，對(duì)于Laplace算子的冪1/2< a<1及任意大的初值，我們利用時(shí)頻分解算子將解分解為低頻部分和高頻部分。我們分別對(duì)解的低頻部分和高頻部分做了衰減估計(jì).我們首先得到了解在L2空間中的最佳衰減估計(jì)。再對(duì)解在齊次Sobolev空間中作衰減估計(jì)。我們主要運(yùn)用了時(shí)頻算子的特性及極值原理.在整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程中不乏一些技巧。運(yùn)用時(shí)頻分解的辦法系統(tǒng)地研究大初值問(wèn)題的衰減估計(jì)。而對(duì)于發(fā)展方程，人們主要研

3、究小初值的解的大時(shí)間行為，對(duì)于大初值的解的衰減估計(jì)目前來(lái)說(shuō)尚未見到更好的結(jié)果。
　　第三章中，我們考慮的是拋物守恒律方程，即第二章中的方程在a=1的情況。我們研究的是拋物守恒律方程具有擾動(dòng)的初值的Cauchy問(wèn)題的解的逐點(diǎn)估計(jì)，主要運(yùn)用Green函數(shù)的方法。我們將方程變形，得到方程的G r e e n函數(shù)，并由Duhamel原理，我們得到解的表示。運(yùn)用Green函數(shù)的方法得到了解在L2空間中的最佳衰減估計(jì)，進(jìn)而得到解在空間中的衰減

4、性。在前面工作的基礎(chǔ)上，利用Green函數(shù)方法，我們得到了解的逐點(diǎn)估計(jì)。對(duì)于發(fā)展方程解的逐點(diǎn)估計(jì)，人們主要研究小初值的情況。對(duì)大擾動(dòng)的情況尚未見到相關(guān)結(jié)果。
　　第四章中，我們考慮的是二維壓差方程的Riemann問(wèn)題。我們研究的是一種特殊的Riemann問(wèn)題，即雙對(duì)稱的四稀疏波的相互作用問(wèn)題.我們構(gòu)造了一個(gè)整體連續(xù)解，這個(gè)解不含有音速線或點(diǎn)，并且原點(diǎn)是唯一的真空點(diǎn).在這里我們?cè)敿?xì)地闡述了簡(jiǎn)單波的相互作用區(qū)域的光滑解的存在性，尤其是