非線性波、幾何可積性與群分類.pdf

1、本文以著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)機(jī)械化思想為指導(dǎo)，以構(gòu)造性的變換及符號(hào)計(jì)算為輔助工具，從幾何和代數(shù)的角度來研究了非線性波，可積系統(tǒng)和微分方程的群理論分析中的一些問題：精確波解(行波解、孤立波解、周期解、泛函分離變量解)、Darboux變換、非等譜演化方程與幾何可積性、群分類、等價(jià)群，等價(jià)性變換、古典李對(duì)稱約化、守恒律分類． 第二和第三章主要考慮了非線性偏微分方程的精確解的構(gòu)造．首先介紹了張鴻慶教授提出的構(gòu)造非線性偏微分方程

2、精確解的AC=BD模式和C-D對(duì)理論，并且把這一模式推廣到研究(1+1)-維偏微分方程的保持形式的點(diǎn)變換．然后在第三章具體研究了這一模式的應(yīng)用：(i)基于一類一階帶六次非線性項(xiàng)的常微分方程，提出了擴(kuò)展的第一類橢圓方程方法，并以廣義的Zakharov方程組為例來展示該方法的有效性，獲得了大量新的有趣的精確解，其中包括鐘型和扭結(jié)型孤波解，亮和暗孤立波解，三角周期波解等；(ii)基于一類投影Riccati方程，提出了一種新的變系數(shù)投影Ricc

3、ati方程展開法．利用該方法，獲得(2+1)-維廣義Broer-Kaup方程的許多有趣的新的類孤波解和有理解，當(dāng)把解中的某些任意函數(shù)取為行波變換時(shí)，還可得到許多具有重要物理意義的行波解；(iii)構(gòu)造了四類(1+1)-維孤子方程的三種顯式的N-重Darboux變換，利用這些變換，獲得了它們以及(2+1)-維Kadomtsev-Petviashvili方程和修正的Kadomtsev-Petviashvili方程的有趣的(2N-1)和(2N

4、)-孤子解，而且所有的變換和解都用類-Vandermonde行列式表示，使得其形式相當(dāng)?shù)暮啙崳?近年來，人們對(duì)孤子和可積系統(tǒng)理論中的非等譜演化方程，即其相應(yīng)譜問題具有時(shí)間依賴的譜參數(shù)η，越來越感興趣．第四章給出了兩類演化方程u<,t>=F(x，t，u，u<,x>,…,u<'k><,x>)和u<,xt>=G(x，t，u，u<,x>…,u<'k><,x>)在假設(shè)η為x，t的可微函數(shù)下描述偽球曲面(幾何可積)的完整刻畫．因此提供了一個(gè)

5、系統(tǒng)的程序確定一個(gè)非等譜線性問題，使得它是給定的非等譜演化方程的可積性條件．從而為解決可積系統(tǒng)理論中的核心問題之一：給定一個(gè)非線性微分方程，判斷它是否Lax意義下可積，即是否可寫成一對(duì)線性問題的可積性條件提供了一種重要的幾何途徑．上述內(nèi)容形成本文的第一部分． 微分方程的群分類，特別是完備的群分類是微分方程群理論分析領(lǐng)域經(jīng)典而又非常困難的問題之一．第五章利用相容性方法以及附加的等價(jià)性變換，給出了一類帶有變系數(shù)函數(shù)f的(1+1)-維

6、非線性電報(bào)方程f(x)u<,tt>=(H(u)u<,x>)<,x>+K(u)u<,x>的完備群分類．結(jié)果獲得了大量新的有趣的具有非平凡變系數(shù)函數(shù)的非線性不變模型，它們都具有非平凡的對(duì)稱代數(shù)，而且這些對(duì)稱代數(shù)至多是五維的．作為上述分類結(jié)果的應(yīng)用，還給出了非線性電報(bào)方程u<,tt>=(H(u)u<,x>)<,x>+K(u)u<,x>的完備群分類．另外，還研究了所有不變模型的附加的等價(jià)性變換，并且通過利用這些附加的等價(jià)性變換，古典Lie約化方

7、法以及一般條件對(duì)稱方法，給出了某些特殊的變系數(shù)非線性不變模型與非線性電報(bào)方程的精確解和泛函分離變量解．最后還給出該類變系數(shù)非線性電報(bào)方程在等價(jià)性變換群下具有零階特征的局部守恒律的分類．第六章利用古典無窮小算法，等價(jià)性變換技巧和低維抽象李代數(shù)的分類理論給出了一般KdV-類非線性演化方程u<,t>=F(t，x，u，u<,x>，u<,xx>)u<,xxx>+G(t，x，u，u<,x>，u<,xx>)在四維及四維以下李代數(shù)下不變的群分類．證明了