有限群的共軛類長及廣義正規(guī)子群.pdf

1、長期以來，共軛類的某些數(shù)量性質(zhì)與有限群的結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系是有限群論研究的重要課題之一。許多群論學(xué)者都參與了這一課題的研究，而且獲得了大量的研究成果，這為有限群理論的發(fā)展起到了強有力的推動作用。在共軛類的眾多的數(shù)量性質(zhì)中，有關(guān)共軛類長與共軛類長的個數(shù)的研究非?；钴S。本文則主要是圍繞以下兩方面的研究內(nèi)容進行： I．某些元素的共軛類長具有某種特定的數(shù)量性質(zhì)的有限群。 II.某些元素的共軛類長的個數(shù)是定數(shù)與整個有限群的結(jié)構(gòu)之間

2、的關(guān)系。 目前人們對問題I的研究主要有兩種途徑：其一是通過減少元素的共軛類個數(shù)；其二是力圖研究某些元素的共軛類長是更為一般的數(shù)的情形。作為這兩種研究途徑的繼續(xù)，在本文中我們嘗試著把一些與I相關(guān)的已有結(jié)果作了一定的推廣，具體來說，在第三章中，我們對素數(shù)冪階p'-元的共軛類長是無平方因子數(shù)，無立方因子數(shù)或者P-數(shù)的有限群的結(jié)構(gòu)做了一定的描述，其中，p是一個素數(shù)；而在第六章中我們則研究了當(dāng)有限群中所有元素的共軛類長是無立方因子數(shù)時群的

3、結(jié)構(gòu)。 眾所周知，對于II的研究，人們首先研究了所有的元素的共軛類長的個數(shù)是定數(shù)的有限群；后來又研究了p-正則元的共軛類長的個數(shù)是定數(shù)時所對應(yīng)的p-補的結(jié)構(gòu)；近來，人們又開始對研究素數(shù)冪階元的共軛類長的個數(shù)足定數(shù)的有限群產(chǎn)生了極大的興趣。從這些研究中我們可以發(fā)現(xiàn)，如何有效地減少共軛類的個數(shù)是人們對II這一問題研究的關(guān)鍵所在。 我們知道素數(shù)冪階元是群中最基本的元素，而雙素數(shù)階元和三素數(shù)階元足僅比素數(shù)冪階元稍微復(fù)雜一點的元素

4、。在本文中我們就是利用這三種元素的共軛類長的個數(shù)來研究整個群的結(jié)構(gòu)，這是減少共軛類個數(shù)的有效手段之一，也是本博士學(xué)位論文的核心內(nèi)容。具體地來講，第四章主要研究了素數(shù)冪階元、雙素數(shù)階元和三素數(shù)階元的共軛類長的個數(shù)等于2或4時的群的結(jié)構(gòu)，從而推廣了Ito的關(guān)于具有兩個或四個共軛類長的有限群的相應(yīng)結(jié)果；在第五章中，我們則詳細刻畫了具有三個特殊共軛類長的有限群的結(jié)構(gòu)，部分地推廣了Ito的關(guān)于三個共軛類長的有限群的相應(yīng)結(jié)果。 從以上有關(guān)共