高維倒向隨機(jī)微分方程、正倒向隨機(jī)微分方程及其應(yīng)用.pdf

1、在過(guò)去的二十多年里，倒向隨機(jī)微分方程理論備受大家的關(guān)注。線性的倒向隨機(jī)微分方程是由Bismut([6])1973年首次引入。1990年，Pardoux和Peng([37])首先證明了非線性倒向隨機(jī)微分方程的存在唯一性。隨后，倒向隨機(jī)微分方程被廣泛的應(yīng)用于應(yīng)用及理論方面的研究，特別是在金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域。這篇論文旨在發(fā)展倒向隨機(jī)微分方程和正倒向隨機(jī)微分方程理論。
　　 在過(guò)去的幾十年中，雖然倒向隨機(jī)微分方程理論得到了長(zhǎng)足的進(jìn)步，但是人們

2、還是更多的研究1維倒向隨機(jī)微分方程，而高維的倒向隨機(jī)微分方程很少被人所研究。研究高維倒向隨機(jī)微分方程的最大困難在于沒(méi)有更加-般的比較定理。實(shí)值倒向隨機(jī)微分方程的比較定理成為該領(lǐng)域比較經(jīng)典的幾個(gè)結(jié)果之一。該定理最早是由Peng([41])給出，隨后Pardoux和Peng([38])以及E1 Karoui-Peng-Quenez([16])給出了更加一般的結(jié)果。比較定理告訴我們：當(dāng)我們比較實(shí)值倒向隨機(jī)微分方程的兩個(gè)解得時(shí)候，我們只需要比較

3、其生成元及終端值。1994年，在“擬單調(diào)條件下”，Christel和Ralf([12])證明了有限維及無(wú)窮維隨機(jī)微分方程的比較定理。運(yùn)用類似的方法，1999年，周([60])得到了在有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)的多維倒向隨機(jī)微分方程的比較定理。2006年，運(yùn)用導(dǎo)向隨機(jī)生存性，Hu和Peng給出了多維倒向隨機(jī)微分方程成立的充要條件。2009年，運(yùn)用類似的“擬單調(diào)條件下”，Wu-和Xu([52])給出了多維正倒向隨機(jī)微分方程的比較定理。在第二章，在沒(méi)有“

4、擬單調(diào)條件”的情形下，我們?cè)囍ビ懻摳呔S倒向隨機(jī)微分方程的比較定理。我們還將討論高維的、關(guān)于變量z二次增長(zhǎng)的倒向隨機(jī)微分方程，并將研究其對(duì)應(yīng)的偏微分方程。
　　 總所周知，在許多情形下，-個(gè)問(wèn)題的可解性與某一正倒向形式的隨機(jī)微分方程的可解性是等價(jià)的，然而這一形式的正倒向隨機(jī)微分方程往往超出了現(xiàn)有的結(jié)果。另一方面，大家都知道，標(biāo)準(zhǔn)的Lipschitz條件并不能保證正倒向隨機(jī)微分方程的可解性。因此，大家越來(lái)越清醒的認(rèn)識(shí)到，對(duì)于這一問(wèn)

5、題的理解和研究需要更新的視角和觀點(diǎn)，大家更加期盼能有一種統(tǒng)一的方法來(lái)解決這一問(wèn)題。
　　 到目前為止，基本上有三種方法去解正倒向隨機(jī)微分方程：(ⅰ)壓縮影像方法。這一方法最初是由意大利人Antonelli[2]提出，后來(lái)Pardoux和Tang([36])對(duì)這一方法給出了更加細(xì)致的解釋，但這一方法只能解釋當(dāng)時(shí)間區(qū)間T相對(duì)小的情形。(ⅱ)四步框架法。這一方法最初是由Ma-Protter-Yong([30])給出。對(duì)于Markovi

6、an形式的正倒向隨機(jī)微分方程，這一方法是第一個(gè)在任意時(shí)間區(qū)間上給出解得方法。其缺點(diǎn)是要求其系數(shù)需要滿足一定的光滑性條件，以使得“部分耦合”的偏微分方程有經(jīng)典解。(ⅲ)連續(xù)性方法。Hu-Peng[20]及Peng-Wu[45]所提出。后來(lái)Yong[54]發(fā)展了該方法。該方法可以去解決任意時(shí)間區(qū)間、非Markovian形式的正倒向隨機(jī)微分方程。這一方法要求其系數(shù)需滿足所謂的“單調(diào)條件”。這一條件完全的區(qū)別于其他的方法。關(guān)于這三種方法更加細(xì)致

7、的解釋可以參閱(cf.[33])。在這本書(shū)中將會(huì)解釋這三種方法之間是不重合的。
　　 第三章，參照[15]and[59]的方法，我們將會(huì)對(duì)一般的正倒向隨機(jī)微分方程給出系統(tǒng)的分析。我們的主要工具是使得Yt=u(t，Xt)成立的“decoupling field”。我們需要強(qiáng)調(diào)u的一致Lipschitz性在證明過(guò)程中起了舉足輕重的作用。我們將會(huì)給出所謂的“decoupling field”存在的充要條件?！癲ecoupfing fi

8、eld”保證了正倒向隨機(jī)微分方程的可解性。我們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的所有的結(jié)果，都可以運(yùn)用我們的結(jié)果給出解釋，在線性正倒向隨機(jī)微分方程、系數(shù)為確定的情形下，我們的條件也是必須的。
　　 最優(yōu)控制問(wèn)題在實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中擁有廣泛的應(yīng)用。在正想控制系統(tǒng)中，布朗運(yùn)動(dòng)作為噪聲源的線性二次問(wèn)題是非常著名的控制問(wèn)題，關(guān)于這一問(wèn)題的經(jīng)典理論業(yè)已得到。最近，倒向線性二次最優(yōu)控制問(wèn)題越來(lái)越受到大家的關(guān)注，比如(Lim，Zhou([1]))。另一方面，這一問(wèn)題在經(jīng)濟(jì)

9、投資問(wèn)題當(dāng)中很容易被提出。例如，在金融市場(chǎng)中，當(dāng)我們考慮用注入和撤出資金來(lái)對(duì)沖某一未定權(quán)益的時(shí)候，研究最優(yōu)消費(fèi)選擇問(wèn)題，很自然的就引入了倒向的隨機(jī)控制問(wèn)題。
　　 這篇論文旨在研究高維倒向隨機(jī)微分方程，正倒向隨機(jī)微分方程及其應(yīng)用。我們將會(huì)得到一類高維倒向隨機(jī)微分方程的比較定理，得到高維的、生成元關(guān)于變量z二次增長(zhǎng)、變量y線性增長(zhǎng)的倒向隨機(jī)微分方程的解得存在唯一性。我們還將研究在一般的非Markovian形式的正倒向隨機(jī)微分方程的

10、可解性。我們得到，現(xiàn)有的大部分的結(jié)果都可以用我們的結(jié)果給出解釋。
　　 本文共分五章，以下是本文的結(jié)構(gòu)和得到的主要結(jié)論：
　　 第一章：介紹從第二章到第五章我們討論的問(wèn)題，背景，及想法。
　　 Chapter2：我們將研究一類高維倒向隨機(jī)微分方程的比較定理，得到高維的、生成元關(guān)于變量z二次增長(zhǎng)、變量y線性增長(zhǎng)的倒向隨機(jī)微分方程的解得存在唯一性定理2.3.4.(高維倒向隨機(jī)微分方程的比較定理)設(shè)f滿足假設(shè)2.3.對(duì)