廣義Boussinesq型方程解的大時間狀態(tài)估計.pdf

1、Boussinesq方程是由法國數(shù)學(xué)物理學(xué)家Boussinesq基于淺水長波理論率先提出的，用來描述淺水水域中的非線性波浪運(yùn)動.該方程的假設(shè)條件為海底是水平面，水質(zhì)點的水平速度不隨水深變化，并且保留了部分豎直方向的加速度.在此基礎(chǔ)上發(fā)展而來的廣義Boussinesq型方程，則用于反映水質(zhì)點的水平速度隨水深而改變，以及波面高度隨海底地形變化等情況.此類方程是一類重要的非線性發(fā)展方程，可用于研究諸多物理問題.
　　本文主要討論了在Rn

2、空間中，兩類廣義Boussinesq型方程的Cauchy問題解的整體存在性，以及大時間狀態(tài)估計.本文的安排如下:
　　第一章，介紹了廣義Boussinesq型方程的物理背景和研究現(xiàn)狀，說明了本文的章節(jié)安排和主要結(jié)果.
　　第二章，考慮了一類帶阻尼項的廣義Boussinesq型方程的Cauchy問題的解的存在性.此類方程主要針對的是水面上存在超大型浮體的波浪模型.其困難在于方程中的導(dǎo)數(shù)階數(shù)過高，使得能量估計失效.為此，本文對解

3、進(jìn)行高低頻分解:低頻部分采用Green函數(shù)方法進(jìn)行估計;高頻部分結(jié)合能量方法和頻率的特性求得解的估計.然后，對Cauchy問題通過構(gòu)造迭代方程和頻率分解，直接證明解的全局存在性，并由先驗估計的辦法求出解的Lp衰減估計.
　　第三章，繼續(xù)考慮帶阻尼項的廣義Boussinesq型方程的Cauchy問題的解的逐點估計.此時的困難在于對低頻部分以及非線性項的處理.首先，對Green函數(shù)進(jìn)行逐點估計:低頻部分，把Green函數(shù)拆分為雙曲結(jié)構(gòu)

4、與耗散結(jié)構(gòu)的卷積;高頻部分，充分利用Green函數(shù)表現(xiàn)出的熱核性質(zhì).然后，使用先驗估計和一些技術(shù)性的引理來處理非線性問題，得到解的逐點估計.
　　第四章，考慮了另一類更為一般的廣義Boussinesq型方程Cauchy問題的解的適定性.此類方程拓廣了超大型浮體模型的適用范圍，使之適用于中等波長和弱的非線性波浪，也修正了海底地形變化對水質(zhì)點所受壓強(qiáng)產(chǎn)生的影響.此類方程的困難在于其譜結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜、導(dǎo)數(shù)的階數(shù)過高.本文采用分頻分法的策略