非線性演化方程的精確解與可積性及其符號計算研究.pdf

1、非線性演化方程是描述物理現(xiàn)象的一類重要數(shù)學模型,也是非線性物理特別是孤立子理論最前沿的研究課題之一.非線性演化方程精確解和可積性的研究有助于弄清物質(zhì)在非線性作用下的運動規(guī)律,對相應物理現(xiàn)象的科學解釋和工程應用將起到重要作用.在非線性演化方程的研究中,尋找方程的行波解、構(gòu)造多孤子解、Painlevé可積性質(zhì)的檢驗等經(jīng)常遇到復雜的符號計算和推理,有的是人力難以完成的,因此妨礙了這些問題的深入剖析.近年來,符號計算的蓬勃發(fā)展,極大地推動了非線

2、性演化方程的研究.非線性演化方程的研究成果不斷涌現(xiàn),尤其是新的求解方法層出不窮.該文以非線性演化方程為研究對象,借助于符號計算這一有效研究工具,研究了多種直接代數(shù)方法在非線性演化方程精確求解中的應用、Painlevé分析及其應用,探討了幾種直接代數(shù)方法與Painlevé可積性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系.主要工作如下:第一部分研究非線性演化方程的精確求解.分別從三個方面進行研究:研究了構(gòu)造非線性演化方程孤立波解的基礎(chǔ)性方法——混合指數(shù)方法,改進了混

3、合指數(shù)方法的關(guān)鍵步驟——行波約化后常微分方程及遞推關(guān)系式的求解.將傳統(tǒng)實指數(shù)方法推廣到復指數(shù)情形,從而可以獲得正則孤波解、奇異孤波解及周期解在內(nèi)的諸多形式的行波解.在Riccati方法、形變映射方法、"統(tǒng)一代數(shù)"方法的基礎(chǔ)上,給出了構(gòu)造非線性演化方程多種行波解的廣義形變映射法.采用分步確定擬解的原則,對齊次平衡法求非線性演化方程多孤子解的關(guān)鍵步驟作了進一步改進.第二部分研究非線性演化方程的Painlevé可積性的檢驗和Painlevé分

4、析的若干應用.主要從兩個方面進行研究:由于非線性系統(tǒng)的Painlevé性質(zhì)與可積性之間有著十分密切的聯(lián)系,因此判定一個非線性系統(tǒng)是否具有Painlevé性質(zhì)就具有非常重要的意義.該文分析了非線性演化方程Painlevé性質(zhì)的幾種檢驗方法,并利用Kruskal方法得到了廣義Hirota-Satsuma耦合方程組具有Painlevé可積性質(zhì)的必要條件.研究了基于Painlevé性質(zhì)的若干截斷展開方法在非線性演化方程可積性質(zhì)及精確解研究中的若

5、干應用.討論了標準截斷展開方法在構(gòu)造不可積系統(tǒng)精確解、可積系統(tǒng)的自Backlund變換、多重孤波解和多孤子解中的應用.第三部分研究符號計算在廣義形變映射法和Painlevé可積性證明中的應用.主要包括:廣義形變映射法將行波解的求解問題轉(zhuǎn)化為非線性代數(shù)方程組的計算問題,推演過程往往涉及到非常繁瑣的計算.該文在計算機符號系統(tǒng)Maple上開發(fā)了一個基于吳文俊消元法的行波解自動求解軟件包NETS.該軟件包可以自動輸出非線性演化方程及方程組的多類

6、行波解.NETS軟件包對方程或方程組的維數(shù)沒有限制.基于WTC-Kruskal算法,該文在計算機符號系統(tǒng)Maple上開發(fā)了wkptest軟件包.該軟件包可快速完成非線性偏微分方程及方程組Painlevé性質(zhì)的自動檢驗.同時,當給定方程不能通過Painlevé檢驗時,軟件包將返回參數(shù)滿足的約束條件.此外,軟件包還能輸出方程的Painlevé截斷展開式.wkptest軟件包適用范圍較為廣泛,對方程或方程組的維數(shù)沒有限制,不僅適用于常系數(shù)方程